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三角関数の最大値・最小値について教えてください

0≦θ<2πのとき、次の関数の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。 (1)y=sinθ-cosθ (2)y=3sinθ+√3cosθ という問題なのですが、参考書を見ても解き方がわかりません。。 数学が苦手なので詳しく教えていただけるとうれしいです。

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  • 回答No.2
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

手順を説明すると、 ・Θで微分する ・上記の微分=0となるsinΘ,cosΘの値を求める ・微分=0となるときがyの最大値、最小値の候補になるので、元の式にsinΘ,cosΘの値を代入して値を比較する となります。 (1)Θで微分して dy/dΘ=cosΘ+sinΘ これを0とおくとsinΘ=-cosΘ ・・・(あ) 一方、sin^2Θ+cos^2Θ=1なのでこれに(あ)を代入すると 2cos^2Θ=1 より cosΘ=±√2/2、sinΘ=±√2/2 (復号は逆順) cosΘ、sinΘがこれらの値をとるときyは最大、あるいは最小になるので値を代入すると、 最大値はcosΘ=√2/2のときでy=√2、その時のΘはπ/4、7π/4 同じく最小値はcosΘ=-√2/2の時でy=-√2、その時のΘは3π/4、5π/4 (2)(1)と同じくΘで微分して dy/dΘ=3cosΘ-√3sinΘ これを0とおくとsinΘ=√3cosΘ ・・・(い) 一方、sin^2Θ+cos^2Θ=1なのでこれに(い)を代入すると 4cos^2Θ=1 より cosΘ=±1/2、sinΘ=±√3/2 (復号は同順) cosΘ、sinΘがこれらの値をとるときyは最大、あるいは最小になるので値を代入すると、 cosΘ=1/2のとき y=2√3で最大、その時のΘはπ/3、5π/3 cosΘ=-1/2のときy=-2√3で最小、その時のΘは2π/3、4π/3

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  • 回答No.1
  • f272
  • ベストアンサー率45% (5274/11639)

三角関数の合成公式を使って (1) y=sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4) (2) y=3sinθ+√3cosθ=2√3sin(θ+π/6) と変形すれば簡単だろう。(1)ならθ-π/4=π/2のときに最大で,θ-π/4=3π/2のときに最小になる。

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