三角関数

質問

三角関数の問題について教えていただきたいです途中までは出来ました
１）
y=cos2Θ+sinΘ（0≦Θ＜2π)
でsinΘ=tとすると
y=-2t^2+t+1となり、yの最大値は9/8で最小値は-2

２）
aを実数とし、Θに関する方程式cos2Θ+sinΘ=a…(1)を考えるただし　0≦Θ＜2π

(1)が解を二つ持つ時のaの範囲を求めよ

上の問題なんですが何処から手をつけたらよいかわかりません
ご教授おねがいします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

θに関する方程式、とあるのでθの値が２つである
と解します。

(1)を利用して、
cos2θ＋sinθ＝a はsinθ=tとしたときの放物線
y=-2t^2+t+1とｔ軸に平行な直線y=aとの交点の
ｔの値を求める式です。
sinθはθ＝π/2、3π/2以外ではθの値は２つに
なるので、ｔの値が１つであればθは２つある。
つまり、この２つのグラフが１点で交わる
範囲を求めればいいことになります。
そのとき、２つが接する頂点部分を忘れずに、
また、点(-1,-2)のところ、つまりa=-2の場合は
θ＝3π/2なので解が１つだけになってしまうので
-2は含まれないことに注意してください。

※
a=-2なら、-2t^2+t+1=-2
　　　　　2t^2-t-3=0
　　　　　(2t-3)(t+1)=0
　　　-1≦t≦1なので、t=-1つまりsinθ=-1、∴θ＝3π/2

回答No.3

info22

(1)
y=-2t^2+t+1=(9/8)-2{t-(1/4)}^2
グラフを書いてみて下さい。
t=1/4で最大値(9/8)、t=-1で最小値(-2)を取りますね。

(2)
y=aと
y=-2t^2+t+1(-1≦t≦1)
のグラフの交点を考えて見てください。

a=9/8の時t=1/4=sinθでθが2つ存在しますね。
y=sinθ(0≦θ＜2π)とy=1/4のグラフを描いてその交点が２つ存在することを確認して下さい。

また-2＜a＜0の範囲で
y=aとy=-2t^2+t+1=-(2t+1)(t-1) (-1≦t≦1)の交点が１つありますね。
このときのtの範囲は-1＜t＜(1/2)ですね。
グラフを描いて確認して下さい。
-1＜t=sinθ＜(1/2)　(0≦θ＜2π)ですから
これを満たすθが２つありますね。
y=sinθのグラフを描き、y=aのグラフを-2＜a＜0の範囲で上下させて
交点が２つできることを確認して下さい。

以上から求めるaの範囲は
a=9/8,-2＜a＜0
となリますが
ご自分で確認して下さい。

回答No.1

noname#53123

(1)の解を二つ持つ
⇔y=cos2Θ+sinΘ,y=aが共有点を二つ持つ

という事です。

1)でy=cos2Θ+sinΘをtの関数として表せているので、後は共有点を二つ持つようにaの範囲を決めてあげればいいのでは？