• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

三角関数がわかりません

0≦a≦1とする。関数y=cos^2x+2asinx+bが最大値2,最小値-1/4をとるとき、a,bの値を求めよ。 最大値と最小値を求める問題は解けるのですが、最初にそれが与えられている問題は、どこから手をつけていいのかわかりません。 とりあえずcos^2xを1-sin^2xに直して計算してみたのですが、その先どうすればいいんですか?間違ってますかね…? 教えてください!!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数107
  • ありがとう数4

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

t=sin(x) (-1≦t≦1)とおくと y=f(t) =1-t^2 +2a t+b =-(t-a)^2+1+b+a^2 上に凸の放物線 対称軸t=aが 0≦t=a≦1 でtの変域内(-1≦t≦1)の右半分にあるので t=aで最大値f(a)=1+b+a^2=2 t=-1で最小値f(-1)=b-2a=-1/4 となります。 最大値、最小値の式から、a,bを求められますね。 後はやってみてください。 分からなければ補足で質問して下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 軸を考えなければならないんですね。 参考になりました!!

関連するQ&A

  • 三角関数の問題です。教えて下さい!

    関数y=2(sinx+cosx)-sin2x(0≦x≦π)がある。 yの最大値、最小値とそのときのxの値をそれぞれ求めよ。 sinx+cosxをtとおいて・・まではできたのですが、 そこからどうしていいかが分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします。

  • 三角関数の問題について

    y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2)の最大値と最小値を求めよ。 2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。 この二つの問題の解き方がいまいち分かりません。 できるだけ詳しく解説お願いします。

  • 三角関数

    関数 f(x)=8√3cos^2x+ 6sinxcosx+2√3sin^2x について (2)f(x)をsin2xとcos2xを 用いて表せ。 (2)0≦x≦πであるとき,関数f(x)の最大値と最小値,およびそのときのxの値を求めよ。 テスト範囲なのですが 授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。 解説をしていただけないでしょうか?

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • trot
  • ベストアンサー率38% (17/44)

ごめんなさい、計算違いをしていました。私の解法では解けませんでした。 以下、参考までに: y(x) = cos ^2 (x) + 2 a sin (x) + b = {1 - sin ^2 (x)} + 2 a sin (x) + b = - sin ^2 (x) + 2 a sin (x) + (b + 1) sin (x) = 1 のとき、すなわち x = π/2 + 2 n π のとき、 y(π/2) = - (1) ^2 + 2 a (1) + (b + 1) = -1 + 2 a + (b + 1) …(1) sin (x) = -1 のとき、すなわち x = -π/2 + 2 n π のとき、 y(π/2) = - (-1) ^2 + 2 a (-1) + (b + 1) = -1 - 2 a + (b + 1) …(2) sin (x) = 0 のとき、すなわち x = 0 + 2 n π のとき、 y(0) = - (0) ^2 + 2 a (0) + (b + 1) = -0 + 0 + (b + 1) …(3) 問題より、a≧0。 (1), (2), (3)を見比べると、どうやら (1)の値 > (3)の値 > (2)の値 となりそう、と踏んで問題中の最大・最小条件を適用してしまったのですが、それは間違い。ちゃんと、t = sin (x)とする必要がありました。 周期関数は最大振幅がsin(x)のように1になったり、tan(x)のように無限大になる性質、特定周期で同じ波形を繰り返す性質を利用すれば、早く解けることが多いので、そこに着眼したのですが。 お騒がせして申し訳ないです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

いえいえ。ありがとうございました!! 参考になりました(^-^)

  • 回答No.3
  • trot
  • ベストアンサー率38% (17/44)

t = sin (x) とする方法は、いい方法だと思いますよ。私の方法とは少々違うのですが、info22さんからいいヒントがでています。この方法はkurumさんが、回答への補足#1に書いているのと同じ方法だと思います。 私の方法では、三角関数の-1 ≦ sin (x) ≦ 1 という特性を使うと、2次方程式を解いたり軸を考える必要が無くなり、時間の節約になります。 基本はinfo22さんの方法であり、確実に解けます。私の方法はある意味「応用」と思われますので、書き込むのはkurumさんが答えを出された後にさせて下さい。 #もちろん、「出し惜しみするな~♪」と言われれば、次は回答を書きますよ ;-)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

何度もありがとうございました。 ヒントをもらって丁寧に計算してみたら、なんとか解けました!! でも、かなり時間がかかったので、応用が知りたいです(・∀・)

  • 回答No.1
  • trot
  • ベストアンサー率38% (17/44)

初めの一手はいいと思いますよ。私の場合、まずは式をちょこっとイジってみます。すると、何か見えてくることがありますので、それを逃さずタタミ込みます。 kurumさんの場合には、sin (x)だけの式にできたじゃないですか。つまり、yが最大・最小になるxを簡単に見つけることができるようになったと思います。 -1 ≦ sin (x) ≦ 1 ですから、後は…。 宿題の可能性もあり、この記事を見なかった生徒さんの不利益になりますので、直接的な回答は避けました。せっかくkurumさんが、解決へのいい方向にいるにも理由の一つです。「分からない」と書いて頂ければ、追加のヒントを出しますよ。頑張って下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ありがとうございます。 計算した後、sinx=tとおいて整理してみたのですが、間違ってますか? もう少しヒントをもらえると嬉しいです。

関連するQ&A

  • 三角関数 

    先程は失礼しました。 三角関数の最大値と最小値を求める問題で、 sin^2ⅹ+3cos^2ⅹ は 1+2cos^2ⅹ と変形しても問題はないでしょうか。

  • 三角関数

    問(1)方程式を解く 0≦x<2πの時 cos2x=cosx cos2x=cosx cos2x-cosx=0 cos(2x-x)=0 cosx=0 ∴x=0,π/2,3π/2 だと思ったのですが、答えが違います。どこが間違っているのでしょうか? 問(2)不等式を解く 3√3sinx+cos2x-4<0 これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが… 問(3)最大値、最小値を求める。 0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx y=cos^2x+sinx =1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき) =-t^2+t-1 =-(t^2-t)-1 =-(t-1/2)^2+5/4 と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか?与式に0orπを代入するのですか? 問(4)最大値、最小値を求める 0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが(sin,cosどちらかにそろえること) どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

  • 三角関数の問題なのですが・・・

    三角関数の問題なのですが・・・ cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、 (1)cos(α-β)の値を求めよ。 (2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y)  が成り立つことを示せ。 (3)cos(α+β)の値を求めよ。 加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。 解き方だけでも教えてください。お願いします!

  • 三角関数の最大・最小の問題です

    関数f(x)=sin^2X+asinX+2 (-90°≦X≦90°)について考える。 但し、aは正の定数とする。 (1) a=1のとき、関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。 (2) 関数f(x)の最小値が-3となるような定数aの値を求めよ。 このような問題で(1)はよいのですが、(2)についてです。 関数f(x)は頂点の座標が(-a/2,-a^2/4+2)から、場合分けを考え、 答えでは -a/2<-1 , -1≦-a/2<0 の2つのみの場合分けなのです。 私は、-a/2<-1 , -1≦-a/2<1 , -a/2>1 の3つの場合分けを考えたのですが、これではいけないのでしょうか? どこを間違えているのか教えて頂きたくお願申し上げます。

  • 三角関数

    (1) 0≦θ<2πのとき、関数y=cos^2θ+2sinθの最大値と最小値とθについて。 y=cos^2θ+2sinθ =(1-sin^2θ)+2sinθ =-sin^2θ+2sinθ+1 =-s^2+2s+1 =-(s^2-2s)+1 =-(s-1)^2+2 (-1≦s≦1) (2) 0≦θ<2πのとき、関数y=8cos^2θ-8sin^2θ+1の最大値と最小値とθについて。 y=8(-sin^2θ+1)-8sin^2θ+1 =-8sin^2+8-8sin^2θ+1 =-16sin^2+9 =-(16sin^2-9) (3) 0≦θ<2πのとき、関数y=2sin^2θ+2cosθ+4の最大値と最小値とθについて。 2sin^2θ+2cos^2θ=2 2sin^2θ=2-2cos^2θ y=2-2cos^2θ+2cosθ+4 =-cos^2θ+2cosθ+6 (1)(2)(3)途中まであっていますか? (1)(2)(3)のやり方を教えて下さい。。。

  • 三角関数

    関数 y=sinθ+cosθ-2sinθcosθについて (1)t=sinθ+cosθ とするとき、tの値の範囲を求めよ。 (2)sinθcosθを(1)のtを用いて表せ。 (3)関数yの最大値と最小値を求めよ。 テスト範囲なのですが 授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。 解説をしていただけないでしょうか?

  • 三角関数

    こんばんは。 三角関数の問題なのですが、行き詰ってしまいました(・・;) 誰か助けてください(o>_<o) 1.0≦x<2πのとき、次の不等式を解け。  (1)sin2x>sinx    2倍角の公式を使って2sinxcosx-sinx>0に直し、sinx(2cosx-1)>0としたところで、わからなくなってしまいました。              2.0≦x<2πのとき、次の関数の最大値と最小値、およびそのときのθの値を求めよ。      (1)y=sinθ-cosθ 三角関数の合成を使うということはわかるのですが、どうやって使えばよいのかがわかりません。 よろしくお願いします(×_×)

  • 三角関数の問題です。

    三角関数の問題です。 2次方程式 5x^2-7x+k=0 の2つの解が、sinΘ、cosΘであるとき、  定数k の値と sin^3Θ+cos^3Θの値を求めよ。 です。 「sinΘ+cosΘ=7/5」 「sinΘcosΘ=k/5」 を使って計算するらしいのですが、 この2つの式はどうやって求めたのでしょうか?

  • 三角関数の問題です

     0≦x≦πのとき、関数f(x)=sin^2x+2√3sinxcosx-cos^2x+1 の最大値とそれを与えるxの値を求めよ。  この問題の解答をお願いします。

  • 三角関数の問題なのですが・・・

    0≦x<2πの範囲で F=cos2x+sin2x-cosx+sinx・・・Aとおく。 (1)0≦x<2πのとき、常に F=asin(bx)cos(cx+π/4) が成立するような正の定数a,b,cの値を求めよ。 (2)F>0となるようなxの値の範囲を求めよ。 という問題があるのですが、(1)はAの式を合成して和積公式を利用したところ答えがa=2√2 b=3/2 c=1/2と出ました。 (2)について質問なのですが、これはどうやってやったらうまく範囲がだせるのでしょうか? 答えがないのですが、早いうちに復習しておきたいです。 どうかよろしくおねがいします。

専門家に質問してみよう