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三角関数がわかりません
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t=sin(x) (-1≦t≦1)とおくと y=f(t) =1-t^2 +2a t+b =-(t-a)^2+1+b+a^2 上に凸の放物線 対称軸t=aが 0≦t=a≦1 でtの変域内(-1≦t≦1)の右半分にあるので t=aで最大値f(a)=1+b+a^2=2 t=-1で最小値f(-1)=b-2a=-1/4 となります。 最大値、最小値の式から、a,bを求められますね。 後はやってみてください。 分からなければ補足で質問して下さい。
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- trot
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ごめんなさい、計算違いをしていました。私の解法では解けませんでした。 以下、参考までに: y(x) = cos ^2 (x) + 2 a sin (x) + b = {1 - sin ^2 (x)} + 2 a sin (x) + b = - sin ^2 (x) + 2 a sin (x) + (b + 1) sin (x) = 1 のとき、すなわち x = π/2 + 2 n π のとき、 y(π/2) = - (1) ^2 + 2 a (1) + (b + 1) = -1 + 2 a + (b + 1) …(1) sin (x) = -1 のとき、すなわち x = -π/2 + 2 n π のとき、 y(π/2) = - (-1) ^2 + 2 a (-1) + (b + 1) = -1 - 2 a + (b + 1) …(2) sin (x) = 0 のとき、すなわち x = 0 + 2 n π のとき、 y(0) = - (0) ^2 + 2 a (0) + (b + 1) = -0 + 0 + (b + 1) …(3) 問題より、a≧0。 (1), (2), (3)を見比べると、どうやら (1)の値 > (3)の値 > (2)の値 となりそう、と踏んで問題中の最大・最小条件を適用してしまったのですが、それは間違い。ちゃんと、t = sin (x)とする必要がありました。 周期関数は最大振幅がsin(x)のように1になったり、tan(x)のように無限大になる性質、特定周期で同じ波形を繰り返す性質を利用すれば、早く解けることが多いので、そこに着眼したのですが。 お騒がせして申し訳ないです。
お礼
いえいえ。ありがとうございました!! 参考になりました(^-^)
- trot
- ベストアンサー率38% (17/44)
t = sin (x) とする方法は、いい方法だと思いますよ。私の方法とは少々違うのですが、info22さんからいいヒントがでています。この方法はkurumさんが、回答への補足#1に書いているのと同じ方法だと思います。 私の方法では、三角関数の-1 ≦ sin (x) ≦ 1 という特性を使うと、2次方程式を解いたり軸を考える必要が無くなり、時間の節約になります。 基本はinfo22さんの方法であり、確実に解けます。私の方法はある意味「応用」と思われますので、書き込むのはkurumさんが答えを出された後にさせて下さい。 #もちろん、「出し惜しみするな~♪」と言われれば、次は回答を書きますよ ;-)
お礼
何度もありがとうございました。 ヒントをもらって丁寧に計算してみたら、なんとか解けました!! でも、かなり時間がかかったので、応用が知りたいです(・∀・)
- trot
- ベストアンサー率38% (17/44)
初めの一手はいいと思いますよ。私の場合、まずは式をちょこっとイジってみます。すると、何か見えてくることがありますので、それを逃さずタタミ込みます。 kurumさんの場合には、sin (x)だけの式にできたじゃないですか。つまり、yが最大・最小になるxを簡単に見つけることができるようになったと思います。 -1 ≦ sin (x) ≦ 1 ですから、後は…。 宿題の可能性もあり、この記事を見なかった生徒さんの不利益になりますので、直接的な回答は避けました。せっかくkurumさんが、解決へのいい方向にいるにも理由の一つです。「分からない」と書いて頂ければ、追加のヒントを出しますよ。頑張って下さい。
補足
ありがとうございます。 計算した後、sinx=tとおいて整理してみたのですが、間違ってますか? もう少しヒントをもらえると嬉しいです。
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お礼
ありがとうございました。 軸を考えなければならないんですね。 参考になりました!!