• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

三角関数の問題について

y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2)の最大値と最小値を求めよ。 2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。 この二つの問題の解き方がいまいち分かりません。 できるだけ詳しく解説お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数213
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • eco1900
  • ベストアンサー率66% (59/89)

お手元に解答はないのですね。 でも「第二問目」は自力で解答までたどり着いたんですね^^v。 一応、その「解答」を差し支えなければ伺ってみても宜しいでしょうか。 >最初の問題は、合成する所で角度αの出し方が分かりません。 >合成に際にグラフを書くと辺の長さはそれぞれ、 >3/2 , √5/2 , 1 となりました。 >1 : 2 : √3 になっているわけでもなく、いまいち分かりません。 >もしかしたらどこかで計算を間違っているだけかもしれませんが。 また、上記【補足】にありました件に関してですが、 三角関数の合成で現れるαは、求められる場合にはαを具体化しておくべきですが、今回のように具体的に求められなければそのままでいいんですよ。 ただし、「sinα=2/3、cosα=√5/3、0<α<π/2」という断り書きは付けておく必要があります。 *今回の質問者さんの「補足」を見る限り、きちんとその合成させる部分までは、努力したことが伺えますよ^^。 ・・ということで、合成させた続きあたりからもう少し記しておきます。 ・【(√5/2)sin2x+cos2x】から →「三角関数の合成:Asinθ+Bcosθ=√(A^2+B^2)sin・・・(あえて省略)」と使って式変形してみてください。 y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2) =(3/2)(sin(2x+α))+2 ここで、sinの角度(2x+α)について、その範囲を調べます。 条件の「0<x<π/2」から→0<2x<π と 合成で現れた「0<α<π/2」から    0<2x+α<3π/2 (つまり、・・・xy座標平面上で言えば「第一象限から第三象限」ですね) この範囲においては、-1<sin(2x+α)≦1 だから、 sin(2x+α)=1の時に最大値7/2 最小値はなし

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 三角関数

    問(1)方程式を解く 0≦x<2πの時 cos2x=cosx cos2x=cosx cos2x-cosx=0 cos(2x-x)=0 cosx=0 ∴x=0,π/2,3π/2 だと思ったのですが、答えが違います。どこが間違っているのでしょうか? 問(2)不等式を解く 3√3sinx+cos2x-4<0 これはどうやっていいか全くわかりません。先ずsinかcosかどちらかにそろえると思うのですが… 問(3)最大値、最小値を求める。 0≦x<πの時 y=cos^2x+sinx y=cos^2x+sinx =1-sin^2x+sinx (sinx=tとおき) =-t^2+t-1 =-(t^2-t)-1 =-(t-1/2)^2+5/4 と最大値が5/4とはわかるのですが最小値はどうやって求めたらいいのでしょうか?与式に0orπを代入するのですか? 問(4)最大値、最小値を求める 0≦x<π/2の時 y=cos^2-4cosxsinx-3sin^2x これは因数分解できないと思うのですが、どうすればいいのでしょう。-4cosxsinxのところがどうしても整理できないのですが(sin,cosどちらかにそろえること) どれか一つでもいいのでよろしくお願いします。

  • 三角関数がわかりません

    0≦a≦1とする。関数y=cos^2x+2asinx+bが最大値2,最小値-1/4をとるとき、a,bの値を求めよ。 最大値と最小値を求める問題は解けるのですが、最初にそれが与えられている問題は、どこから手をつけていいのかわかりません。 とりあえずcos^2xを1-sin^2xに直して計算してみたのですが、その先どうすればいいんですか?間違ってますかね…? 教えてください!!

  • 三角関数の問題です

     0≦x≦πのとき、関数f(x)=sin^2x+2√3sinxcosx-cos^2x+1 の最大値とそれを与えるxの値を求めよ。  この問題の解答をお願いします。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • eco1900
  • ベストアンサー率66% (59/89)

●「y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x (0≦x<π/2)の最大値と最小値を求めよ。」    右辺について・・一見したところ何から取り掛かっていいのか困惑しているかと思います。   (詳しい解説を希望とありましたが、そばに実際の解答などがあるのでしたら、あえてヒント的なお話しとしておきますので、嫌気がさしていなければ再挑戦してみてください・・・ごめんね^^A) ・【sin^2x+cos^2x=1】から   →「cos^2x=1-sin^2x」を使って式変形してみてください。 ・【sin2x=2sinxcosx】から   →「sinxcosx=(1/2)sin2x」を使って式変形してみてください。 ・【(√5/2)sin2x+cos2x】から   →「三角関数の合成:Asinθ+Bcosθ=√(A^2+B^2)sin・・・(あえて省略)」と使って式変形してみてください。 ●「2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。」  4y+3x-2=0 から、y=(-3/4)x+1/2 (1)  -3y+x+5=0 から、y=(1/3)x+5/3 (2)  (1)と(2)のそれぞれがx軸の正方向となす角をα、βとします。   (→二直線を原点まで平行移動してきても、なす角α、βに変化はありませんから、結局のところ二直線の「傾き」だけが必要となりますね。)    上のカッコ内のことを踏まえて、求める(1)、(2)のなす角θとすれば・・・    θ=α+β  また、グラフから「tanα=-3/4、tanβ=1/3」ということになります。   (実際にグラフにしてみてみるともっと分かりやすいと思います)  ・・・あとは、θのtanを考えて・・・ tanθ=tan(α+β)=・・・省略・・・    (・・・この辺からそろそろ再挑戦してみてください、きっと解答できると思いますよ。^^v)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

すみません説明不足でした。手元に解答はありません。 最初の問題は、合成する所で角度αの出し方が分かりません。 合成に際にグラフを書くと辺の長さはそれぞれ、 3/2 , √5/2 , 1 となりました。 1 : 2 : √3 になっているわけでもなく、いまいち分かりません。 もしかしたらどこかで計算を間違っているだけかもしれませんが。 2つ目の問題はたった今自力で解けました。

関連するQ&A

  • 三角関数の問題です。教えて下さい!

    関数y=2(sinx+cosx)-sin2x(0≦x≦π)がある。 yの最大値、最小値とそのときのxの値をそれぞれ求めよ。 sinx+cosxをtとおいて・・まではできたのですが、 そこからどうしていいかが分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします。

  • 三角関数

    (cos2x+sin2x+1)/cos2xsin2x 0<x<π/4の最小値についてですが、図形的に2x=π/4の時だろうというのはわかるのですが、微分しないで求まらないでしょうか?自分はtanxのみの式にしてもうまくいきませんでした。よろしくお願いします。

  • 三角関数

    関数y=3cos^2θ-8snθcosθ+5sin^2θ(0≦θ≦π/2)の最大値、最小値を求めよ。 という問題なんですが 解説に =3-4*2sinθcosθ+2sin^2θ =3-4sin2θ+2*1-cos2θ/2・・・(1) =4-(4sin2θ+cosθ)・・・(2) =4-√(17)sin(2θ+α) ・・・ と書いてあるんですが (1)と(2)の変形はどうやっているんでしょうか? あと 積和の公式sinθcosθ=1/2{sin(θ+θ)+sin(θ-θ)}の sin(θ-θ)の部分はsin0になるんですがsin0=0でいいんでしょうか? 回答よろしくお願いします。

  • 三角関数の積分

    ∬sin(2x+y)dxdy(範囲は,0≦x≦π/2,x≦y≦2x)の値を求めよ。 自分なりに計算してみたら =∫「0→π/2」∫「x→2x」「sin(2x+y)dydx =∫「0→π/2」[-cos(2x+y)]「x→2x」dx =∫「0→π/2」-cos4x+cos3xdx =[-1/4sin4x+1/3sin3x]「0→π/2」 =-1/3 になってしまいました。積分でマイナスの値はおかしいと思いますがどこがおかしいのでしょうか?アドバイスお願いします。

  • 三角関数の問題なのですが・・・

    三角関数の問題なのですが・・・ cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、 (1)cos(α-β)の値を求めよ。 (2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y)  が成り立つことを示せ。 (3)cos(α+β)の値を求めよ。 加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。 解き方だけでも教えてください。お願いします!

  • 高1 数学II 三角関数の問題

    問一 三角形ABCにおいて、AB=3、CA=4、角B=2X、角C=Xとする。 このとき、次の値を求めよ。 (1)cosX (2)sinX (3)BC 問二 0≦x<2πのとき、次の関数の最大値、最小値、またそのときのxの値を求めなさい。 (1)y=sin2乗x+2√3sinxcosx+3cos2乗x (2)y=3sin2乗+4sinxcosx&#65293;cos2乗x ちなみに、答えは 問一の(1)2/3 (2)√5/3 (3)7/3    問二の(1)MAXは4(x=π/6と7π/6) MINは0(x=2π/3と5π/3) (2)MAXは2√2+1(x=3π/8と11π/8)、MINは&#65293;2√2+1(x=7π/8と15π/8) となっています。どうすれば、このような答えを導けるかできるだけ早く回答願います。

  • 高一 数学 三角関数

    問一 三角形ABCにおいて、AB=3、CA=4、角B=2X、角C=Xとする。 このとき、次の値を求めよ。 (1)cosX (2)sinX (3)BC 問二 0≦x<2πのとき、次の関数の最大値、最小値、またそのときのxの値を求めなさい。 (1)y=sin2乗x+2√3sinxcosx+3cos2乗x (2)y=3sin2乗+4sinxcosx&#65293;cos2乗x ちなみに、答えは 問一の(1)2/3 (2)√5/3 (3)7/3    問二の(1)MAXは4(x=π/6と7π/6) MINは0(x=2π/3と5π/3) (2)MAXは2√2+1(x=3π/8と11π/8)、MINは&#65293;2√2+1(x=7π/8と15π/8) となっています。どうすれば、このような答えを導けるかできるだけ早く回答願います。

  • 三角関数

    sinα+cosα=sinαcosαのとき、sinα+cosαの値を求める問題で sinα=X、cosα=Yとおくと (x^2)+(y^2)=1 x+y=xy x+y=ttookuto (t^2)-2t-1=0 t=1±√2 から x+y=sinα+cosα=√2{(1/√2)sinα+(1/√2)cosα} =√2{cos(π/4)・sinα+sin(π/4)・cosα} =√2sin(α+π/4) より、 |x+y|=√2|sin(α+π/4)|≦√2×1=√2 の ≦√2×1=√2 がどうやって現れたのか分かりません。 教えてください。

  • 三角関数。

    こんにちは。 よろしくお願いいたします。 【1】0≦θ≦πのとき、√3sinθ+cosθ=tとおくと、tのとりうる値を求めよ。 これが分からないのですが、解説にはいきなり、 t=2sin(θ+π/6)で・・・ と書いてあるんですが、そこから分かりません。 【2】cos2θ+√3sion2θ=√3 これを合成して2で割ると sin(2x+π/6)=√3/2 が分かりません。

  • 三角関数

    関数 f(x)=8√3cos^2x+ 6sinxcosx+2√3sin^2x について (2)f(x)をsin2xとcos2xを 用いて表せ。 (2)0≦x≦πであるとき,関数f(x)の最大値と最小値,およびそのときのxの値を求めよ。 テスト範囲なのですが 授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。 解説をしていただけないでしょうか?