三角関数の問題

質問

aを実数とし、関数F(x)=sin２ｘ+2a(sinx-cosx)+a^3(0≦x≦π)を考える。

(1)t=sinx-cosxとおき、ｆ（ｘ）をｔの関数g(x)として表せ。またtの範囲は？

(2)(1)のとき、ｇ（ｘ）の最大値ｍ(a)は？

解ける方いますか(:0:)

お願いします。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の誤植の訂正

m(a)の式の最後の行のaの範囲
>m(a)=g(-1)=a^3-2a^2 (a<-1のとき)
>　　=g(a)=a^3+a^2+1 (-1≦a≦1のとき)
>　　=g(1)=a^3+2a^2 (a>11のとき)
誤： (a>11のとき)
正： (a>1のとき)

最大値m(a)がaの範囲でg(-1),g(a),g(1)のいづれになるかのg(t)の
グラフの解説図を添付して置きます。

回答No.1

info22_

(1)
t=sin(x)-cos(x)...(A)とおくと
　t=√2sin(x-(π/4))
0≦x≦πより -π/4≦x-(π/4)≦3π/4 であるから
　-1≦t≦1 ...(B)
t^2=sin^2(x)+cos^2(x)-2sin(x)cos(x)=1-sin(2x) より
　sin(2x)=1-t^2 ...(C)
従って(A),(C)をF(x)の式に代入すると
　F(x)=1-t^2+2at+a^3=-(t-a)^2+a^3+a^2+1=g(t) ...(D)
(B)より
　∴g(t)=-t^2+2at+1+a^3 (-1≦t≦1) ...(E)

(2)
(1)より
　g(t)=-(t-a)^2+a^3+a^2+1 (-1≦t≦1)

従ってg(t)の最大値m(a)は
　m(a)=g(-1)=a^3-2a^2 (a<-1のとき)
　　　=g(a)=a^3+a^2+1 (-1≦a≦1のとき)
　　　=g(1)=a^3+2a^2 (a>11のとき)

(※)グラフを描いて考えると分かり易いでしょう。