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三角関数の最大最小

y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6とする。xが0≦x≦πの範囲を動くとき、次の問いに答えよ。 (1)t=sinx+cosxのとりうる範囲を求めよ。 (2)yの最大値と最小値を求めよ。 という問題ですが、(1)で-1≦sinx+cosx≦√2ともとまったんですが(これは正答)、 一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 どういうことなのでしょうか。 だれかおしえてください。

  • 科学
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  • suko22
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回答No.5

ついでなのでちゃんと解いてみます。 (1)sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 0≦x≦πなのでπ/4≦x+π/4≦5π/4  x+π/4=π/2のとき最大値をとり、x+π/4=5π/4のとき最小値をとる。  ∴-1≦sinx+cosx≦√2 (2)t=sinx+cosx 両辺を2倍すると、  t^2=(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2 t^2=1+2sinxcosx 2sinxcosx=t^2-1 これらを与式に代入  y=t^2-1-t√6 =(t-√6/2)^2-2/5 頂点(√6/2,-2/5)で下に凸のグラフであることがわかる。  (ここで簡単なグラフを書いてください。)  今(1)より-1≦t≦√2なので、  図より(自分で書いてみて確認してください)  t=-1のときが最大値y=1-1+√6=√6  t=√6/2のとき最小値y=-2/5  (補足:√6/2と√2大小が微妙、√2≒1.4、√6≒2.4より、√6/2<√2であることがわかる。   √2の値はある程度の桁まで知っておいたほうがよい。√6に関しては、√4、√5、√6、√7、√8、  √9と並ぶことを考え、2と3の間に0.2刻みで他の√があるとおおざっぱに考える。だから√6≒2.4)  (補足2:両方とも正の実数だから、両辺を2倍して比較してもよい。6/4と2→1.5と2。だから√6/2<  √2)  t=-1のとき√2sin(x+π/4)=-1 x+π/4=5π/4  x=π  t=√6/2のとき√2sin(x+π/4)=√6/2→sin(x+π/4)=√3/2  x+π/4=π/3、2π/3  x=π/12、5π/12  ゆえに、t=-1すなわちx=πのとき最大値√6      t=√6/2すなわちx=π/12、5π/12のとき最小値-2/5 終わり。 >一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 これは間違いでしょう。たぶん単なる誤植です。先生なり、出版元なりに確認されてみてはいかがですか? もし範囲が-1≦sinx+cosx≦2でも同じ答えにはなりますが、(1)の結果が急にこのように代わることは考えられません。最初にも書きましたがsinxの最大値は1(x=π/2)、cosxの最大値は1(x=-π)で、最大値をとるxの値が違うのでsinx+cosx=2には絶対になりません。

doragonnbo-ru
質問者

お礼

詳しい解説、ありがとうございます!!!すごくわかりやすかったです。 確かに誤りがあったとしても、答えは変わりませんね・・・。 本当にありがとうございます(`・ω・´)!!!

その他の回答 (4)

  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)
回答No.4

>y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6 問題文のこの式あってますか? y=2sinxcosx-(sinx+cosx)√6 2がついていませんか?

doragonnbo-ru
質問者

補足

本当にすみません!!ついていました!!!

  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)
回答No.3

参考書の解説が間違っているというのはたまにですがあります。 (1)の範囲で(2)を解いて答えがあっていればただの誤植ではないですか? 確認してみてください。 簡単に計算してみたんですが、 (2)の答えは最小値(1-4√3)/2(x=√2のとき) 、最大値√6(x=-1のとき) ですか?

doragonnbo-ru
質問者

補足

答えはt=-1すなはち、x=πの時、最大値√6     t=√6/2すなはち、x=π/12, 5π/12の時、最小値-5/2 と書いてあります。

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.2

>一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 -1≦sinx+cosx≦√2のことだと思います。(√ の付け忘れ?) この範囲で、最大値最小値は求まります。 t=-1のときが最大値,t=√2のときが最小値だと思います。

  • suko22
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回答No.1

>一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 それは解説が間違っているのでは? 普通に考えてもsinxとcosxが同時に1になるxは存在しないと思うのですが。

doragonnbo-ru
質問者

補足

僕も解説が間違いだと思うんですが、しかしこれは第一学習社のファイン5というもので、学校が配ったたものなんですが、間違うことってあるのでしょうか?

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