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三角関数の最大最小
y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6とする。xが0≦x≦πの範囲を動くとき、次の問いに答えよ。 (1)t=sinx+cosxのとりうる範囲を求めよ。 (2)yの最大値と最小値を求めよ。 という問題ですが、(1)で-1≦sinx+cosx≦√2ともとまったんですが(これは正答)、 一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 どういうことなのでしょうか。 だれかおしえてください。
- doragonnbo-ru
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ついでなのでちゃんと解いてみます。 (1)sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 0≦x≦πなのでπ/4≦x+π/4≦5π/4 x+π/4=π/2のとき最大値をとり、x+π/4=5π/4のとき最小値をとる。 ∴-1≦sinx+cosx≦√2 (2)t=sinx+cosx 両辺を2倍すると、 t^2=(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2 t^2=1+2sinxcosx 2sinxcosx=t^2-1 これらを与式に代入 y=t^2-1-t√6 =(t-√6/2)^2-2/5 頂点(√6/2,-2/5)で下に凸のグラフであることがわかる。 (ここで簡単なグラフを書いてください。) 今(1)より-1≦t≦√2なので、 図より(自分で書いてみて確認してください) t=-1のときが最大値y=1-1+√6=√6 t=√6/2のとき最小値y=-2/5 (補足:√6/2と√2大小が微妙、√2≒1.4、√6≒2.4より、√6/2<√2であることがわかる。 √2の値はある程度の桁まで知っておいたほうがよい。√6に関しては、√4、√5、√6、√7、√8、 √9と並ぶことを考え、2と3の間に0.2刻みで他の√があるとおおざっぱに考える。だから√6≒2.4) (補足2:両方とも正の実数だから、両辺を2倍して比較してもよい。6/4と2→1.5と2。だから√6/2< √2) t=-1のとき√2sin(x+π/4)=-1 x+π/4=5π/4 x=π t=√6/2のとき√2sin(x+π/4)=√6/2→sin(x+π/4)=√3/2 x+π/4=π/3、2π/3 x=π/12、5π/12 ゆえに、t=-1すなわちx=πのとき最大値√6 t=√6/2すなわちx=π/12、5π/12のとき最小値-2/5 終わり。 >一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 これは間違いでしょう。たぶん単なる誤植です。先生なり、出版元なりに確認されてみてはいかがですか? もし範囲が-1≦sinx+cosx≦2でも同じ答えにはなりますが、(1)の結果が急にこのように代わることは考えられません。最初にも書きましたがsinxの最大値は1(x=π/2)、cosxの最大値は1(x=-π)で、最大値をとるxの値が違うのでsinx+cosx=2には絶対になりません。
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- suko22
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>y=sinxcosx-(sinx+cosx)√6 問題文のこの式あってますか? y=2sinxcosx-(sinx+cosx)√6 2がついていませんか?
補足
本当にすみません!!ついていました!!!
- suko22
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参考書の解説が間違っているというのはたまにですがあります。 (1)の範囲で(2)を解いて答えがあっていればただの誤植ではないですか? 確認してみてください。 簡単に計算してみたんですが、 (2)の答えは最小値(1-4√3)/2(x=√2のとき) 、最大値√6(x=-1のとき) ですか?
補足
答えはt=-1すなはち、x=πの時、最大値√6 t=√6/2すなはち、x=π/12, 5π/12の時、最小値-5/2 と書いてあります。
- ferien
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>一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 -1≦sinx+cosx≦√2のことだと思います。(√ の付け忘れ?) この範囲で、最大値最小値は求まります。 t=-1のときが最大値,t=√2のときが最小値だと思います。
- suko22
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>一方で(2)の方で解説に突然範囲が-1≦sinx+cosx≦2と書かれています。 それは解説が間違っているのでは? 普通に考えてもsinxとcosxが同時に1になるxは存在しないと思うのですが。
補足
僕も解説が間違いだと思うんですが、しかしこれは第一学習社のファイン5というもので、学校が配ったたものなんですが、間違うことってあるのでしょうか?
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お礼
詳しい解説、ありがとうございます!!!すごくわかりやすかったです。 確かに誤りがあったとしても、答えは変わりませんね・・・。 本当にありがとうございます(`・ω・´)!!!