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三角関数

0≦θ<2πとし、 sin2x+sinx+cosx≦1・・・(1) を解け。 t=sinx+cosx とおいて   (1)を2t^2+t-3≦0 としてみましたが行き詰っています・・・

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グラフ的に解けば y=sin(2x)+sinx+cosx-1(0≦x<2π)のグラフ(添付図参照)を描いて y≦0となるxの範囲を求めれば良いから  π/2≦x<2π …(答) と求まります。 [別解]  sin(2x)+sinx+cosx≦1 (0≦x<2π)・・・(1) t=sinx+cosx=(√2)cos(x-(π/4)) …(2) とおくと -√2≦t≦√2 …(3) sin(2x)=2sinx cosx=(sinx+cosx)^2-1=t^2-1 …(4) であるから(1)は  t^2-1+t≦1  t^2+t-2≦0  (t+2)(t-1)≦0  -2≦t≦1 (3)より  -√2≦t≦1 …(5) (2)より  -√2≦(√2)cos(x-(π/4))≦1  -1≦cos(x-(π/4))≦1/√2 …(6) 0≦x<2πより -π/4≦x-(π/4)<2π-(π/4) なので(6)の解は  π/4≦x-(π/4)<2π-(π/4) 各辺にπ/4を加えて  π/2≦x<2π …(答)    

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  • 回答No.1

>t=sinx+cosx とおいて   (1)を2t^2+t-3≦0 この変形が間違っています。 sin2x=2sinxcox=(sinx+cosx)^2-1=t^2-1 ですね。これを(1)に代入すると違う識になると思います。

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質問者からの補足

あ、何か勘違いをしていたみたいです!

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