三角関数の問題の別解

質問

f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+cosx|-4 (aは実数)
で、t=sinx+3cosxとしたときの問題です。

tのとりうる範囲→-3≦ｔ≦10＾1/2
f(x)をtであらわすと→f(x)=t^2-a|t|-9という小問までは普通に解けました。

最後の小問が、「xの方程式f(x)=0が、0≦x≦πの範囲に２つの解をもつようなaの値の範囲を求めよ」、というものなのですが、
模範解答では、１つのtに対して２つの解（x）が対応するtの範囲（3≦t＜10＾1/2…*）、
１つのtに対して１つの解（x）が対応するtの範囲（-3≦ｔ＜３、ｔ＝10＾1/2…**）
をそれぞれ求めたうえで、g(t)=t^2-a|t|-9…***とｙ軸の交点の存在するｔの範囲を求める、
という方向性になっていて、a＜0、a=0、a＞0に場合分けして考えています。
（答えはa＜0、0＜a＜10＾（-1/2））

これに対して私は、*の範囲の時***がひとつの解、**の範囲の時***が２つの解をもてばいいと考えて、
前者がg(±3)＞0のとき　（このときa＜0）、
後者がg(±３)＜0かつg(10^1/2)＞0のとき　（このとき0＜a＜10＾（-1/2））、
ｔ＝10＾1/2は不適、となり、最終的な答えは正しくなりました。

ただ、aについて場合分けしていないため、ｇ（ｔ）＝0のグラフの形がやや違っている（私はＵ字型の曲線しか考えていませんが、aの値によってはＷ字型のグラフにもなるようです。）ことが気になります。

私の解答は正しいのでしょうか?よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+3cosx|-4
の間違いですかね。

本題の、質問についてですが
基本的な考え方は質問者さんのやり方でもＯＫです。

ただ、
＞前者がg(±3)＞0のとき　（このときa＜0）、
＞後者がg(±３)＜0かつg(10^1/2)＞0のとき　（このとき0＜a＜10＾（-1/2））、
というのは論理の飛躍があります。おそらく減点されるでしょう。

質問者さん自身が気づいているように、
＞私はＵ字型の曲線しか＞考えていませんが、aの値によってはＷ字型のグラフにもなる
わけです。
なんで、前者、つまり、「方程式g(t)=0が-3≦ｔ＜３の範囲に１つのみ解を持つ」条件を、きちんと考えるためには、aの値で場合分けする必要があります。

結局のところ、質問者さんの方針で解くなら、

・前者（方程式g(t)=0が-3≦ｔ＜３の範囲に１つのみ解を持つ）の条件を満たすaの範囲を調べるために、aについて場合分けする
・後者（方程式g(t)=0が3≦t＜10＾1/2の範囲に２つの解を持つ）の条件を満たすaの範囲を調べるために、aについて場合分けする
・方程式g(t)=0が、ｔ＝10＾1/2という解を持つような、aが存在するか調べる

必要があります。

お礼

よくわかりました！ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+cosx|-4 (aは実数)
で、t=sinx+3cosxとしたときの問題です。

tのとりうる範囲→-3≦ｔ≦10＾1/2
f(x)をtであらわすと→f(x)=t^2-a|t|-9という小問までは普通に解けました。

＞問題かf(x)=t^2-a|t|-9に誤りがある

お礼

ありがとうございました！

補足

すいません
f(x)=3sin2x+4cos2x-a|sinx+3cosx|-4 (aは実数)
でした。