三角関数

質問

０°＜ｘ＜180°として、sinx+sin2x+sin3x>0の解がわかりません。それと
sinx+siny=1,cosx cosy=3/4のとき、sin(x+y)/2の値がわかりません。どうか教えてください。

回答No.7

mirage70

２問目
No5 , No6で合っております。
わかりにくければ、sinx=A , siny=Bとおきますと、
A+B=1 , cosx=±√(1-A^2) ,cosy=±√(1-B^2)
(cosx*cosy)^2=(1-A^2)(1-B^2)=9/16
1-(A^2+B^2)+(AB)^2=1-(A+B)^2＋2AB+(AB)^2=9/16　ここで、A+B=sinx+siny=1より、(AB)^2+2AB=9/16
AB=Xと於くと、16X^2+32X-9=(4X-9)(4X-1)=0よって、
X=-9/4 or1/4
X=AB=sinx*sinyより、｜X｜<=1よって、X=1/4即ちAB=1/4
A+B=1 , AB=1/4此を２根とする解は、A=B=1/2
即ち、sinx=siny=1/2此より、cosx=cosy=±(√3)/2
此を成立させるのは、x=y=30°または150°
sin((x+y)/2)=sin30°=sin150°=1/2

回答No.6

noname#24477

＃５ですが、ちょっと間違えました。
３０度と１５０度という組合せは無いので、
９０度や２７０度は有りませんでした。

回答No.5

noname#24477

2番の解法
私も「cosx-cosy」のような気もしますが
式は間違っていないということなら
sin^2ｙ＋cos^2ｙ＝１
を使ってｙを消去してしまいます。
ｘだけの式になってsin　か　cosだけに直して
方程式を解きます。4次方程式。
sinｘになおしたとき値の範囲を考えれば
sinx＝siny＝1/2
cosx＝cosy＝±√３/2
ｘ＝３０度＋３６０度*n
ｙ＝３０度＋３６０度*n
または１５０度＋３６０度＊ｎ
でもよいことを考えると答は複数出てくることになります。
（角度の条件はありますか？）
(x+y)/2は３０度、１５０度、９０度、２１０度、２７０度、３３０度（＋３６０度＊ｎ）
がありえます。

回答No.4

KENZOU

#3のKENZOUです。

＞問題２の方は－符号は抜けていません

あら、こちらの画面では抜けて見えますよ(笑い）。
ところで問題２は解けましたか？

補足

－符号は抜けていませんっていうか
－符号じゃなくて×符号なんです。
問題２はまだ解けていません。

回答No.3

KENZOU

[公式]問題解くのに必要なものだけをピックアップ
sin^2x+cos^2x=1
sinx+siny=2sin(x+y)/2・cos(x-y)/2
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
cos2x=1-2sin^2x

[問題１]
0°＜ｘ＜180°(ラジアン表記で0<x<π）として
sinx+sin2x+sin3x＝sin2x＋(sinx+sin3x）
＝sin2x＋2sin2cosx
＝2sin2x(cosx+1/2)＞０ (1)
(1)が成立するためには
sin2x>0 かつ cosx+1/2>0 (2)
あるいは
sin2x<0 かつ cosx+1/2<0 (3)
を満たすxを求めれば良いことになります。
sin2xは
(イ)区間[0<x<π/2]で正
(ロ）区間[π/2<x<π]で負
cosx+1/2は
(ハ)区間[0<x<2π/3]で正
(ニ)区間[2π/3<x<π]で負
(2)を満たすxは(イ)と(ハ)を同時に満たすxですから
0<x<π/2
次ぎに(3)を満たすxは(ロ)と(ニ)を同時に満たすxですから
2π/3<x<π

[問題２]
＞cosx cosy=3/4
は－符号が抜けていると思いますよ。
さて、与式を2乗すると
sinx+siny=1 →sin^2＋sin^2y＋2sinxsiny=1 (1)
cosx-cosy=3/4 →cos^2＋cos^2y－2cosxcosy=9/16 (2)
(1)＋(2)より
cos(x+y)=7/32 (3)
ところで
cos(x+y)=cos(2・(x+y)/2)=1-2sin^2(x+y)/2＝7/32 (4)
これから
sin(x+y)/2=±5/8

補足

問題１は解けました。ありがとうございます。
問題２の方は－符号は抜けていません。

回答No.2

fushigichan

tsujisatoshiさん、こんばんは。
＞０°＜ｘ＜180°として、sinx+sin2x+sin3x>0の解がわかりません。

sin(2x-x)+sin2x+sin(2x+x)>0
と置き換えてみると分かりやすくなるのではないでしょうか。

sin(2x-x)+sin2x+sin(2x+x)
=sin2xcosx-cos2xsinx+sin2x+sin2xcosx+cos2xsinx
=2sin2xcosx+sin2x
=sin2x(2cosx+1)>0
なので

1)sin2x>0かつ2cosx+1>0のとき

2)sin2x<0かつ2cosx+1<0のとき

と２つに場合わけして0°<x<180°の範囲で求めればよいと思います。

お礼

最初の問題は解けました。ありがとうございました。

回答No.1

ONEONE

sinx+sin2x+sin3x>0
和積公式を使いましょう。
sinA + sinB = 2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}

お礼

最初の問題は解けました。ありがとうございました。