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数学II 三角関数

(1)0≦θ≦2πの時、cos2θ+sin(θ+π/6)-cos(θ+π/3)=1を解け。 (2)0≦x<2π、0≦y<2πであるとき、連立方程式   sinx+cosy=√3   cosx+siny=-1 を満たすx、yを求めよ。 解答解説ともに、よろしくお願いします。

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(1) >cos(2θ)+sin(θ+(π/6))-cos(θ+(π/3))=1 でいいですか? そうだとすると (左辺)-(右辺)= cos(2θ)+sin(θ+(π/6))-cos(θ+(π/3))-1  =1-2sin^2(θ)+((√3)/2)sinθ+(1/2)cosθ-(1/2)cosθ+((√3)/2)sinθ-1  =-2sin^2(θ)+(√3)sinθ  =-2sinθ(sinθ-((√3)/2))  =0 ∴sinθ=0 or (√3)/2 0≦θ≦2πより sinθ=0 ⇒ θ=0, π, 2π sinθ=(√3)/2 ⇒ θ=π/3, 2π/3 Ans. θ=0, π, 2π, π/3, 2π/3 (2) 0≦x<2π、0≦y<2π   sinx+cosy=√3   cosx+siny=-1 これより  cosy=(√3)-sinx, siny=-1-cosx …(※) sin^2 y+cos^2 y=1に代入して、式を展開・整理すると  1+2cosx+cos^2 x +sin^2 x -2(√3)sinx +3=1  2cosx -2(√3)sinx +4=0  ((√3)/2)sinx-(1/2)cosx=1  sinx cos(π/6)-cosx sin(π/6)=1  sin(x-(π/6))=1 0≦x<2πより -(π/6)≦x-(π/6)<11π/6 であるから  x-(π/6)=π/2  ∴x=2π/3   (※)より  siny=-1-cosx=-1+(1/2)=-1/2  cosy=(√3)-sinx=(√3)-((√3)/2)=(√3)/2 0≦x<2πより  ∴y=11π/6 以上より Ans. x= 2π/3, y=11π/6

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