連立三角方程式を解く方法と条件
- 連立三角方程式の解法と範囲について説明します。
- 連立方程式を解くためには、sinxとcosyの値を求める必要があります。
- 解答として、xの範囲は0°<x<90°、yの範囲は150°です。
- ベストアンサー
連立三角方程式
角度の範囲を絞るところがわからないので質問します。 問、0°≦x＜360°,0°≦y＜360°の範囲で次の連立方程式を解け。 sinx+siny=1・・・(1),cosx-cosy=√3・・・(2) (1)からsinx=1-siny・・・(1)' -1≦siny≦1より、1-siny≧0であるからsinx≧0 したがって0°≦x≦180°・・・(3) (2)からcosx=√3+cosy・・・(2)' -1≦cosy≦1より、√3+cosy>0であるからcosx>0 ここがわからないところです。したがって 0°<x<90°,270°<x<360°・・・(4) 自分はcosxは1になることもあるので、0°≦x<90°だと思いました。 また、√3+cosy≧√3-1なので、cosx≧√3-1だからxの範囲はさらに絞られるのではと思いました。 解答では、(3)と(4)の共通範囲をとって、0°<x<90°とし、(1)'(2)'の両辺を平方し、辺辺加えて √3cosy-siny+2=0 ,siny=√3cosy+2・・・(5) 上記のようにして、siny>0 より 0°<sinｙ<180°(5)の両辺を平方して、sin^2y=1-cos^2yを代入して整理して(2cosy+√3)^2=0,cosy=-√3/2これを(2)’に代入してcosx=√3/2 xとｙの範囲に注意して、y=150°、x=30°が答えでした。 どなたか、cosx>0のとき0°<x<90°となることを教えてください。お願いします。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
> 0°≦x≦180°・・・(3) > 0°<x<90°,270°<x<360°・・・(4) 0°≦x<90°, 270°<x<360 ... (4') の方が正しいですね。 >自分はcosxは1になることもあるので、0°≦x<90°だと思いました。 その通りです。 >また、√3+cosy≧√3-1なので、cosx≧√3-1だからxの範囲はさらに絞られるのではと思いました。 これはあくまでも解を絞るための必要条件です。 解の範囲が絞られればいいのです。 解の評価は <<問、0°≦x＜360°,0°≦y＜360°の範囲で次の連立方程式を解け。 sinx+siny=1・・・(1),cosx-cosy=√3・・・(2) >> を満たしていると確認できて, 十分条件といえます。 確認したくない のであれば,すべて同値変形により, 解を導く必要があります。 --- cosx=√3-1の解は x=42.9414028648799... , 317.058597135120... なので 0°≦x<42.95°, 317.05°<x<360°・・・(4'') >cosx>0のとき0°<x<90°となることを教えてください。 0°<x<90° は間違いです。→ 0°≦x<90°
その他の回答 (3)
- staratras
- ベストアンサー率40% (1444/3522)
No.3です。連立方程式を解く過程で不十分な点がありましたので、訂正します。失礼しました。 tan((x-y)/2)=-√3 …（3） 0°≦x＜360°,0°≦y＜360°…（4）だから、-180°＜((x-y)/2)＜180°となり、 この範囲で（3）を満たすのは((x-y)/2)=-60°すなわちx-y=-120°…（5）のみ と書いてしまいましたが、 これは正しくなく、((x-y)/2)=120°すなわちx-y=240°も（3）は満たします。 ただしこれを(1)'に代入するとsin((x+y)/2)=-1 となりますが、0°≦((x+y)/2)＜360°の範囲でこれを満たすのは、((x+y)/2)=270°つまりx+y=540°しかなく、x-y=240°と連立させるとｘ=390°となって0°≦x＜360°という指定された解の範囲をはみ出すので、これは不適です。
お礼
訂正ありがとうございます。
- staratras
- ベストアンサー率40% (1444/3522)
角度の範囲を絞っているのは、解の範囲を限定するためですが、確かにあまりわかりやすくないですね。同値変形で素直に方程式を解いた方がわかりやすいかもしれません。この場合でも解のx,yの値を与えられた範囲で求めていることは示す必要があるでしょうけれど。 和差の公式から sinx+siny=1…(1) より2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)=1…(1)' cosx-cosy=√3…(2)より-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)=√3 …(2)' (2)'÷(1)'よりtan((x-y)/2)=-√3 …（3） 0°≦x＜360°,0°≦y＜360°…（4）だから、-180°＜((x-y)/2)＜180°となり、 この範囲で（3）を満たすのは((x-y)/2)=-60°すなわちx-y=-120°…（5）のみ これを(1)'に代入するとsin((x+y)/2)=1 、（4）から0°≦((x+y)/2)＜360°となり この範囲でこの式を満たすのは((x+y)/2)=90°すなわちx+y=180°…（6）のみ ((5)+(6))÷2 よりx=30°（6）に代入してy=150° 答えx=30°y=150°
お礼
和差の公式を使った解き方の紹介、ありがとうございます。
- gamma1854
- ベストアンサー率54% (287/523)
第一式から、0≦x≦pi 、第二式より、 √3 - 1≦cos(x)≦√3+1 より、0≦x<pi/4, or (7/4)pi<x<2pi. よって、0≦x<pi/4. -------------------- ※この問いについては、両式の平方の和をとり、cos(x+y)=-1. が出ます。これより、x+y=pi, 3pi.... これが「必要条件」からのものです。 これを利用するも一法です。
お礼
お返事ありがとうございます。別解の紹介もありがとうございます。
関連するQ&A
- 三角関数の問題です。
次の連立方程式を解け。(0°≦x≦y≦180°) cosx + cosy = √6/2 sinx + siny = √6/2 どういうアプローチをかけたら良いのかさっぱり分かりません。考え方だけでも教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角比 連立方程式
0゜≦x≦180゜、0゜≦y≦180゜とする。 連立方程式 cos^2x + sin^2y =1/2 sinxcosy=3/4 を解け。 (答案) 第1式から (1-sin^2x)+(1-cos^2y)=1/2 よって sin^2x+cos^2y =3/2……① 第2式は sinxcosy =3/4……② 【②の両辺を2乗して、①に代入すると sin^2x(3/2-sin^2x)=9/16】 整理して 16sin^4x-24sin^2x+9=0 よって (4sin^2x-3)^2=0 ゆえに sin^2 =3/4 0゜≦x≦180゜から sinx≧0で、 sinx=√3/2 ゆえに x=60゜、120゜ ②から √3/2cosy= 3/4 で、cos=√3/2 ゆえに y=30゜ 質問したいのは、【 】でくくった所はどのようにして計算されているのかということです。 よろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数 連立方程式
sin(x+y)=sinx-siny・・・１ cos(x+y)=cosx-cosy・・・２ １，２の連立方程式を解く問題なのですが、解答が １・・・2sin{(x+y)/2}cos{(x+y)/2}=2cos{(x+y)/2}sin{(x-y)/2} ２・・・1-2[sin{(x+y)/2}]^2＝-2sin{(x+y)/2}sin{(x-y)/2} と2倍角の公式や和積公式で変形してあり、ここまではわかるのですが、 この２式からcos{(x+y)/2}=0が得られる。となっています。ところがその途中の計算方法がわからないのです。 それで最後の答えがx=±2π/3＋2mπ、y=±π/3＋2nπとなっています。 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数
０＜＝x＜２π、０＜－ｙ＜＝２πとする。連立方程式 ｓｉｎｙ－ｃｏｓｘ＝－１・・・(1) ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｙ＝－√3・・・(2) を満たすとき ｛１｝ｓｉｎ（ｘ－ｙ）の値を求めよ。 ｛２｝この連立方程式を解け。 という問題で｛１｝は１と解かりました。 また｛２｝のｘ－ｙ＝－３/２π、π/２からｙ＝ｘ＋3／2π、 ｙ＝ｘ－π/２も解かったのですがここから 「「ｙ＝ｘ＋3／2π、のとき(1)から２ｃｏｓｘ＝１ (2)から２ｓｉｎｘ＝－√3」」 ０＜＝ｘ＜２πから ｘ＝５／３π このときy＝１９／６πとなり不適。 の特に「「 」」でくくった部分がなぜそうなるのか解かりません。 だからｙ＝ｘ－π/２のとき(1)から２ｃｏｓｘ＝１ (2)から２ｓｉｎｘ＝－√3にもなぜなるのか解かりません。 教えてください。 又これは個人的思うのことなのですが、三角関数って他の数学の科目に比べて難しいと思いませんか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 考え方あってますか？
「０≦x≦２π、０≦y≦２πのとき cosx-siny=1かつcosy+sinx=-√３を解け。」という問題を解いたのですが考え方があってるか見てください。特に確かめてほしいのは⇔や⇒の使い方があってるかとか本当に⇔や⇒でいいのかです。 解答は cosy+sinx=-√３ （cosx-siny）^2=1 cosy+sinx=-√３・・・(1) ⇒ （cosy+sinx）^2=3・・・(2)⇔sin(x-y)=1・・・(3)⇔x-y=2/π,-2/3π・・・(4) (2)⇔(3)⇔(4)（これは(2)(3)(4)を満たすx,yの組み合わせの集合は全て同じ。という意味ですよね？）だから(1)⇒(4)。 (1)⇒(4)の意味するところは(1)が成り立てば必ず(4)が成り立つということ。 集合の包括関係で言えば０≦x≦２π、０≦y≦２πの範囲で(4)を満たすx,yの組み合わせの集合の中に(1)を満たすx,yの組み合わせの集合があるということだから (4)と同値のx=y+2/π,y-2/3π・・(5)は(1)でも成り立っている？ だからあとは(5)を(1)に代入して (1)⇔ cos(y+π/2 , -3/2π)-siny = 1 cosy+sin(y+π/2,-3/2π)=-√３cosy+cosy=-√３ ⇔ -siny-siny=1 cosy+cosy=-√３ これらを同時に満たすyはy=7/6π。(5)からx=5/3π(x,y)=(5/3π,7/6π) 考え方あってますか？ . この質問に補足する.
- 締切済み
- 数学・算数
- 連立方程式の解き方
次のような、(1)、(2)から成る連立方程式があります。 ２x^2 －x －６ ＝ ０ … (1) x^2 ＋x －１２＝０ … (2) これを解くとすると、 辺々足して ３x^2 －１８ ＝ ０ －１８を移項して ３x^2 ＝ １８ 両辺を３で割って x^2 ＝ ６ 平方根をとって x ＝ ±√6 別のやりかたもやってみました。 (1)、(2)でx^2をＸとおくと、 ２Ｘ －x －６ ＝ ０ … (3) Ｘ ＋x －１２＝０ … (4) (4)をＸについて解くと、 Ｘ＝－x ＋１２ これを(3)に代入すると ２(－x ＋１２) －x －６ ＝ ０ 展開すると －２x ＋２４ －x －６ ＝ ０ 整理すると －３x ＋１８ ＝ ０ よって －３x ＝ －１８ 両辺を－３でわると x ＝ ６ ここでおかしいことは、１番目のやりかたと２番目のやりかたで解が違うことです。 また、私の計算では、いずれの解ももとの方程式を満たさないようです。 どこを計算間違いしているのでしょうか。 私は何度も見直しましたが、計算間違いは見つかりませんでした。 辺々足したり、代入したりするところに問題があるのでしょうか。 辺々足したり代入したりするのは、連立方程式を解くときによく使われる手段ですよね。 でも、この連立方程式の場合は、そのようなことをしてはいけないのでしょうか。 もしそうだとしたら、 どのような連立方程式なら辺々足したり代入したりできて、 どのような連立方程式の場合は辺々足したり代入したりができないのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
必要条件や十分条件についても解説してくださり、ありがとうございます。