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三角関数の方程式

三角関数の方程式 次の方程式の解き方がわかりません。 ヒントだけでも教えてください。 未知数x、yについての方程式 (sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b cosx=c a,b,cは既知 よろしくお願いします

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  • 回答No.4
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

ANo.3です。 先ほどは「基本的に解無し」と書いたのですが、 正確には ・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たす時、解あり ・a, b, cがa^2 + b^2 + c^2 = 1を満たさない時、解なし となります。 蛇足かもしれませんが、一応根拠を書いておきます。 三角関数は全ての角Θに対して恒等式sin^2Θ + cos^2Θ = 1が成り立ちます。 なのでsin^2x + cos^2x = 1とsin^2y + cos^2y = 1が必ず成り立つはずです。 今回はcosx = cとなっているので、角xに対してこの恒等式を成り立たせるために sinx = ±√(1 - c^2)としなければいけません。 同様に角yについてもこの恒等式が成り立たせなければいけません。 ここでsiny, cosyについて考えると、 (sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b より siny = a/sinx cosy = b/sinx なので、 sin^2y + cos^2y = (a^2 + b^2)/(sin^2x) となります。 よって(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1とならなくてはいけません。 (そうしないと恒等式sin^2y + cos^2y = 1が成立しなくなってしまいます)。 さて、(a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1という条件式をもっと整理してみます。 sinx = ±√(1 - c^2)なので、 (a^2 + b^2)/(sin^2x) = 1 (a^2 + b^2)/(1 - c^2) = 1 a^2 + b^2 = 1 - c^2 ∴a^2 + b^2 + c^2 = 1 よって正当な解が得られるのは a^2 + b^2 + c^2 = 1の時に限定されるということになります。

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  • 回答No.5
noname#121794
noname#121794

cosx=c となるようなxを求めて、(sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b となるyを求めるだけ。これ以上簡単なことはない

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  • 回答No.3
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

未知数が2つなのに、式は3つあるのでしょうか? だとしたら「解無し」です。 (sinx)(siny)=a (sinx)(cosy)=b cosx=c の3式を同時に満たすx, yの組は基本的に存在しません (a, b, cの値によっては解が定まる場合がありますが…)。

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  • 回答No.2

>(sinx)(siny)=a  ・・・(1) >(sinx)(cosy)=b  ・・・(2) >cosx=c      ・・・(3)  式(3)から   ∴ x=±arccos(c)+2nπ  (n:整数)  b≠0 のとき 式(1)/式(2)から     tan(y)=a/b   ∴ y=arctan(a/b)+mπ   (m:整数)  b=0 のとき sin(x)=0 または cos(y)=0   ∴ a=0のとき x=kπ (k:整数), y:任意     a≠0のとき x=(2i±1/2)π, y=(2j±1/2)π  (i,j:整数, 複号は同順で a>0のとき正、a<0のとき負)  従って、以上をまとめると次のようになります。   a=b=0 のとき      x=nπ (n:整数), y:任意   0<a≦1,b=0 のとき   x=(2n+1/2)π, y=(2m+1/2)π  (n,m:整数)   -1≦a<0,b=0 のとき   x=(2n-1/2)π, y=(2m-1/2)π  (n,m:整数)   -1≦a≦1,b≠0 のとき  x=±arccos(c)+2nπ, y=arctan(a/b)+mπ  (n,m:整数、複号はa,b,cの符号関係で判断します。)    ちなみに、arccosやarctanは逆三角関数で、それぞれ次の範囲で値を返すものとしています。   arccos: [0,+π)   arctan: [0,+π/2)

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  • 回答No.1

こんばんわ。 通常の連立方程式と同様に、「xを消去」や「yを消去」ということを考えれば・・・ 以下の 2つの関係式を用いれば、解けそうです。 ・sinθ/cosθ= tanθ ・sin^2(θ)+ cos^2(θ)= 1 どうも、xも yも逆三角関数として与えられますね。

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