三角関数

質問

x,yは-π/2<x<π/2,-π/2<y<π/2の範囲にある0でない実数で次の等式

　　　　　　sin^3x+sin^3y=3√15/32

　　　　　　siny/sinx+sinx/siny=3 　　　　　を満たすとする

このときのx+yの値を求めよ

この問題が解けなくて困っています。
どなたか解答お願いしますm(__)m

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

与えられた二本の式は sin x と sin y の対称式なので、
s = (sin x) + (sin y), p = (sin x)(sin y) と置くと
s と p の式に置き換えられます。
s^3 - 3sp = 3√15/32, (s^2 - 2p)/p = 3 です。

(s^2 - 2p)/p = 3 から s^2 = 5p。これを使って
s^3 - 3sp = 3√15/32 から p を消すと、s の値が判ります。

二次方程式の解と係数の関係より、
t^2 - st + p = 0 の解が t = sin x, sin y ですから、
s, p の値が判れば、sin x, sin y の値も求められます。

-π/2 < x < π/2, -π/2 < y < π/2 が指定されているので、
sin x, sin y の値が判れば、cos x, cos y の値も出ますね。

あとは、
sin(x + y) = (sin x)(cos y) + (cos x)(sin y) を計算して、
そこから x + y を求めれば良いかな。

答えの値は、誰か、ポイントの欲しい模範解答屋さんが
書いてくれるでしょう。きっと。

お礼

できました！
分かりやすくて助かりました！
ありがとうございました！

回答No.1

nag0720

方針だけ

sinx+siny=α
sinxsiny=β
と置いて、２つの式をα,βで表すと簡単な連立方程式になるので、α,βが求まります。

(cosxcosy)^2をα,βで表せば、cosxcosyの値も分かります。

あとは、
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
から、cos(x+y)の値が分かるので、x,yの範囲に注意すればなんとかなるでしょう。

補足

（ｃｏｓαｃｏｓβ）二乗が求まらないのですが…