三角関数、教えてください。。

質問

２倍角などのいろんな公式を使って解く問題↓を教えてください。

０<x<2πの時、次の方程式を解く
(1)sin2x＋√3sinx＝0
(2)sin2x＜√2sinx

(3)和と差を積に変形する公式を使って
sin3x＋sinx＝0

√をどう変形すれば良いのかなどがわかりません＞＜因数分解できないし。。

やり方と解答、両方教えていただけると嬉しいです。

回答No.3

SKJAXN · ベストアンサー

既に公式を使うことを前提としていますが、数学（物理もそう）はできるだけ公式を覚えないことが重要です。何故それを公式とするのか？　その公式もどきは、どのように導かれたのか？　その過程を覚えておかないと、本番のテストで「あの公式何だっけ？」と焦り、実力を発揮できないことが多いからです。
三角関数は、
・(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
・tanθ=sinθ/cosθ
・sinとcosの加法定理
・あと、まあ三角関数の合成
ぐらい覚えておけば、殆どカバーできます。「テスト時間が限られているから」と言わず、本質の導出過程を覚えて何度もすべきです。すると、本番でもペンが動きます。そしてその内、自然と公式もどきを覚えてしまうのです。

(1) sin(2X)=sin(X+X)=sinXcosX+cosXsinX=2sinXcosX
(3) sin(3X)=sin(2X+X)=sin2XcosX+cos2XsinX
cos(2X)=cos(X+X)=cosXcosX-sinXsinX=(cosX)^2-(sinX)^2

あとは、No.2さんの言うとおりです。

また話は逸れますが気になったのは、「和と差を積に変形する公式」とおっしゃってますが、こんなものは覚えるものではありません。加法定理で全て解決するのです。例えば、sinXcosYを求める場合、この項を含む加法定理は、
sin(X+Y)=sinXcosY+cosXsinY ・・・(1)
sin(X-Y)=sinXcosY-cosXsinY ・・・(2)
(1)+(2)より、sin(X+Y)+sin(X-Y)=2sinXcosY
だから、sinXcosY=1/2{sin(X+Y)+sin(X-Y)}
と導かれるのです。他の組合せも試してみて下さい。この導出を覚えておけば、きっと役に立ちます。

お礼

お礼がかなり遅れてしまい、すみませんでした！
大変詳しく教えていただき有難うございました。

回答No.2

Willyt

１．与式＝２sinXcosX +√2sinx=2sinX(cosx+√3/2)=0 となりますからあとは自分で解けますね。

２．sin2x＜√2sinx は　sin2xー√2sinx<0 ですから

　　左辺=2sinx(cosx-1/√2)<0 ここからは自分で解けますね。

３．与式＝sin(2x+x) + sinx=sin2xcosx+cos2xsinx+sinx=2sinx(1-sinx^2)+(1-2sin^2)sinx + sinx

となり、含まれるのはsinX だけですからあとはやさしいですね。

お礼

参考になりました。回答ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

2倍角の公式を使えばよいのです。
sin2x=2*sinx*cosx

(1)は上記の式を代入して因数分解する。
(2)は両辺をsinxで割りたいところですが不等式の両辺を同じ数字で割る場合、その数が正か負かで場合わけをしないといけません。

お礼

回答ありがとうございました！