三角方程式 これが解りません

質問

御世話になっております。次の三角方程式の問題

0≦x＜2π で sin2x=sinx を解け

一応色々やってみたのですが、全く自信なしです。(解答も無いせいでもありますが)
左辺を2倍角の公式で変形して

2sinxcosx=sinx……(1)

これはただ公式使っただけですがこの後が……sinに絞れば良いかと思うのですが…

(1)をcosxについて解くと、1/2=cosx

よってこの方程式は0で定まらない。……

え～と、先に申し上げたように全く自信なしです。お解りになる方、訂正もしくはヒントをお願い致します。

回答No.1

JOUNIN · ベストアンサー

>よってこの方程式は0で定まらない
この意味がわからないです。すいません;;

では(1)から議論を進めてみましょう。sinxが0かそうでないかで場合分けします

(i)sinx=0すなわちx=0,πのとき
(1)は左辺=右辺=0となり成立する
よってx=0,πは解である

(ii)sinx≠0すなわちx≠0,πのとき
(1)の両辺を2sinxで割り
cosx=1/2
0≦x＜2πでこれを満たすのはx=π/3,5π/3
これはx≠0,πをみたす
よってx=π/3,5π/3は解である

(i),(ii)より
x=0,π/3,π,5π/3

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

いや、私がさっぱりよくわかっていないものでして、意味不明な事を書いてしまいました。すいません。

しかし、回答者様の解が大変参考になりました。なるほど場合分けを使うのですね。場合分けして得た全ての解を問題の解として良いわけですね。

回答No.3

info22_

>2sin(x)cos(x)=sin(x)……(1)
このあと
全て左辺に移項してsin(x)で括ります。

　2sin(x){cos(x)-(1/2)}=0

　sin(x)=0 or cos(x)=1/2

0≦x＜2πより

　sin(x)=0から　　x=0π
　cos(x)=1/2から　x=π/3,5π/3

これらの4通りのxが答えになります。

お礼

あ。 そんな式変形も良いのですか！

まだまだ未熟で嘆きたくなります。

ご回答ありがとうございました

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞sinに絞れば良いかと思うのですが…
この文が差していることはわからないのですが、
単純に sin(x)で割ってはいけません。
因数分解できるところまで、まずは因数分解してください。

あとは、
A* B＝ 0ならば、A＝ 0またはB＝ 0

に当てはめていきます。

単純に割ってはいけないというのは、
sin(x)＝ 0でも等式は成り立ちますよね。＾＾

お礼

回答ありがとうございます。
三角方程式の解き方の一つに、三角方程式は一つの三角関数に統一せよ、とあったのです(ニューアクションα出典)。加法定理や相互関係を使って、うまく一つの三角関数に統一し、因数分解出来るならば、ご回答の通り、数(式)の積の性質に則り、一次の方程式又は不等式に導く、というのは分かるのですが、質問の問いだけ、どう公式を使っても一つに統一出来ずに困っておりました。
しかし、No.(1)様の回答で、「場合分け」を使って解く方法が分かったので、大分取っ付き易くなった感はあります。