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三角方程式 これが解りません
御世話になっております。次の三角方程式の問題 0≦x＜2π で sin2x=sinx を解け 一応色々やってみたのですが、全く自信なしです。(解答も無いせいでもありますが) 左辺を2倍角の公式で変形して 2sinxcosx=sinx……(1) これはただ公式使っただけですがこの後が……sinに絞れば良いかと思うのですが… (1)をcosxについて解くと、1/2=cosx よってこの方程式は0で定まらない。…… え～と、先に申し上げたように全く自信なしです。お解りになる方、訂正もしくはヒントをお願い致します。
- いろは にほへと（@dormitory）
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>よってこの方程式は0で定まらない この意味がわからないです。すいません;; では(1)から議論を進めてみましょう。sinxが0かそうでないかで場合分けします (i)sinx=0すなわちx=0,πのとき (1)は左辺=右辺=0となり成立する よってx=0,πは解である (ii)sinx≠0すなわちx≠0,πのとき (1)の両辺を2sinxで割り cosx=1/2 0≦x＜2πでこれを満たすのはx=π/3,5π/3 これはx≠0,πをみたす よってx=π/3,5π/3は解である (i),(ii)より x=0,π/3,π,5π/3
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- info22_
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>2sin(x)cos(x)=sin(x)……(1) このあと 全て左辺に移項してsin(x)で括ります。 2sin(x){cos(x)-(1/2)}=0 sin(x)=0 or cos(x)=1/2 0≦x＜2πより sin(x)=0から x=0π cos(x)=1/2から x=π/3,5π/3 これらの4通りのxが答えになります。
お礼
あ。 そんな式変形も良いのですか！ まだまだ未熟で嘆きたくなります。 ご回答ありがとうございました
- naniwacchi
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こんばんわ。 ＞sinに絞れば良いかと思うのですが… この文が差していることはわからないのですが、 単純に sin(x)で割ってはいけません。 因数分解できるところまで、まずは因数分解してください。 あとは、 A* B＝ 0ならば、A＝ 0またはB＝ 0 に当てはめていきます。 単純に割ってはいけないというのは、 sin(x)＝ 0でも等式は成り立ちますよね。＾＾
お礼
回答ありがとうございます。 三角方程式の解き方の一つに、三角方程式は一つの三角関数に統一せよ、とあったのです(ニューアクションα出典)。加法定理や相互関係を使って、うまく一つの三角関数に統一し、因数分解出来るならば、ご回答の通り、数(式)の積の性質に則り、一次の方程式又は不等式に導く、というのは分かるのですが、質問の問いだけ、どう公式を使っても一つに統一出来ずに困っておりました。 しかし、No.(1)様の回答で、「場合分け」を使って解く方法が分かったので、大分取っ付き易くなった感はあります。
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お礼
早速のご回答ありがとうございました。 いや、私がさっぱりよくわかっていないものでして、意味不明な事を書いてしまいました。すいません。 しかし、回答者様の解が大変参考になりました。なるほど場合分けを使うのですね。場合分けして得た全ての解を問題の解として良いわけですね。