三角関数について

質問

１）半角の証明でcos(2A) = cos(A)^2 - sin(A)^2 = cos(A)^2 - { 1 - cos(A)^2 } = 2* cos(A)^2 - 1までできたのですが、そのあとがわかりません。なぜcos(A)^2 = { 1 + cos(２A) }/2このようになるんですか。
2）０≦ｘ＜πの範囲でsin（２ｘ）＝cosxを満たす角をすべて答えよ。
で、この問題は手の付けようがありません。2倍角の公式を使うのですか？
2sinxcosx＝cosxでcosxにそろえて因数分解することはわかったのですが、ここからまったくわかりません。このあと、どうなるのでしょうか。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

あ）半角

＞＞2* cos(A)^2 - 1までは・・・。

(1)cos2A=2((cosA)^2)-1
(2)cos2A=1-2((sinA)^2)
(3)cos2A=((cosA)^2)-((sinA)^2)
ーーー
(1)より、
cos2A=2((cosA)^2)-1
左右を入れ替えて、
2((cosA)^2)-1=cos2A
移項して、
２((cosA)^2)＝１＋（cos2A）
両辺を、２で割って、
((cosA)^2)＝（１＋（cos2A））／２　（＃１）
Ａを半分にしてもＯＫ。このままの方が覚えやすい。
ーーー
(2)より、
cos2A=1-2((sinA)^2)
移項して、
2((sinA)^2)＝１－（cos2A）
両辺を、２で割って、
((sinA)^2)＝（１－（cos2A））／２　（＃２）
ーーー
(tanA)＝(sinA)／(cosA)
両辺を自乗して、
(tanA)^２＝（(sinA)^２）／（(cosA)^２）
（＃１）（＃２）より、
(tanA)^２＝（１－（cos2A））／（１＋（cos2A））　（＃３）
ーーーーーー
い）

＞＞2sinＸcosＸーcosＸ＝０・・・。
cosＸで括る、
cosＸ（2sinＸー１）＝０
cosＸ＝０、または、（2sinＸー１）＝０
cosＸ＝０　より、Ｘ＝９０度、
（2sinＸー１）＝０　より、sinＸ＝１／２、Ｘ＝３０度、１５０度。
ーーーーーー
う）　念のため、

＞＞sin（α＋β）sin（α-β）
＝（sinαcosβ）＾２－（cosαsinβ）＾２・・・。
＝（（sinα）＾２）（（cosβ）＾２）－（（cosα）＾２）（（sinβ）＾２）
　ＣＯＳを消す方針で、
＝（（sinα）＾２）（１－（（sinβ）＾２））－（１ー（（sinα）＾２））（（sinβ）＾２）
＝（（sinα）＾２）ー（（sinα）＾２）（（sinβ）＾２）ー（（sinβ）＾２）＋（（sinα）＾２）（（sinβ）＾２）
＝（（sinα）＾２）ー（（sinβ）＾２）
＞＞　＝（sinα）＾２－（sinβ）＾２

お礼

わかりやすい解説、本当にありがとうございます。

回答No.1

oldperson

１）cos(2A) = 2* cos(A)^2 - 1 より
cos(2A) + 1 = 2* cos(A)^2
{cos(2A) + 1}/2 = cos(A)^2

2）cosx=0 の場合 x=π/2
cosx≠0 の場合
2sinxcosx＝cosx の両辺を cosx で割る
2sinx=1
sinx=1/2
x=π/6,5π/6

お礼

わかりました。
ご丁寧にありがとうございました。