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三角関数の微分

三角関数の微分が解けません。 三角関数の法則を利用して答えは纏めた形になるのですが、上手く纏める方法が思いつきません。 1. y=sin^2xcos^3(2x) y'=2sinxcosx*cos^3(2x)+sin^2x*(-6)cos^2xsinx Ans:y'=sin2xcos^2(2x)*{1-8sin^2(x)} 2sinxcosxを2倍角の公式を利用したりして纏めましたが答えにたどり着けません。 また、 2. y=sinx/1+tan^2(x) y'=cosx{1+tan^2(x)}-sinx*2tanx{1/cos^2(x)} Ans:y'=cosx{1-3sin^2(x)} 纏め方について助言お願いします。

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  • mmk2000
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>y=sin^2xcos^3(2x) >y'=2sinxcosx*cos^3(2x)+sin^2x*(-6)cos^2xsinx 2項目がおかしい気がします。 y'=2sinxcosx*cos^3(2x)+sin^2(x)*{cos^3(2x)}' =2sinxcosx*cos^3(2x)+sin^2(x)*3cos^2(2x)(cos(2x))' =2sinxcosx*cos^3(2x)+sin^2(x)*3cos^2(2x)(-sin(2x))×2 =2sinxcosx*cos^3(2x)-6sin^2(x)*cos^2(2x)sin(2x) =sin(2x)*cos^3(2x)-6sin^2(x)*cos^2(2x)sin(2x) =sin(2x)cos^2(2x){cos(2x)-6sin^2(x)} =sin(2x)cos^2(2x){1-2sin^2(x)-6sin^2(x)} =sin(2x)cos^2(2x){1-8sin^2(x)} ちょっと細かくしすぎましたが、合成関数の微分を丁寧にやって見ました。 >y=sinx/1+tan^2(x) >y'=cosx{1+tan^2(x)}-sinx*2tanx{1/cos^2(x)} こっちはいきなり微分をしては面倒です。分母の1+tan^2(x)は高校の頃の公式から1/cos^2(x)である事に気づけば簡単です。 y=sinx/1+tan^2(x)=sin(x)/(1/cos^2(x))=sin(x)cos^2(x) y'=cos(x)cos^2(x)+sin(x)*2cos(x){-sin(x)} =... =cos(x)(cos^2(x)-2sin^2(x)) =cos(x)(1-sin^2(x)-2sin^2(x)) =cos(x){1-3sin^2(x)} 分からない部分があればまた補足してください。

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質問者からのお礼

詳しい解説ありがとうございます。 1はsin(2x)cos^2(2x)で括ってcosの二倍角を出す部分を見落としていました。 2は微分前に変形する考えが浮かばず苦労していました。 理解できました。

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