三角関数について

質問

三角関数についてご質問です。
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あ）半角の公式の証明はどうやってやるんですか。教科書に半角公式自体載っていません。
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い）０≦ｘ＜πの範囲でsin（２ｘ）＝cosxを満たす角をすべて答えよ。
で、この問題は手の付けようがありません。2倍角の公式を使うのですか？
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う）sin（α＋β）sin（α-β）＝（sinα）＾２－（sinβ）＾２となることを示せ。
sin（α＋β）sin（α-β）＝（sinαcosβ）＾２－（cosαsinβ）＾２まではわかったのですが、ここからわかりません。
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長文ですみません。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

あ）半角の公式は、２倍角の公式と裏表の関係にあります。
　試しに、(1+cosθ)/2={cos(θ/2)}^2を示してみましょう。
　　(1+cosθ)/2
　= 1/2 {1 + cos(2・θ/2)}
　= 1/2 [1 + 2{cos(θ/2)}^2-1]
　= {cos(θ/2)}^2
となります。sin(θ/2)も同様に示すことができますので、あとはsin(θ/2) / cos(θ/2)　とすることで、tan(θ/2)も示すことができます。

い）２倍角の公式を使う洞察は良いと思います。
　あとは、cos xが共通項で因数分解できると思いますので、cos xとsin xの値を決めることで、ｘが求められると思います。

う）もう少しで証明ができますね。
　左辺が右辺になることを証明することを考えると、右辺はすべてsinだけで表されていますので、cosをすべてsinに直してみてください。幸い、cosにはすべて２乗がかかっていますので(sin x)^2+(cos x)^2=1の関係を使えば簡単に変形できるはずです。

　頑張ってください。

補足

ご協力ありがとうございます。
い）なのですが、２倍角の公式を適用し2sinx cosx＝cosx、2sinxcosx-cosx＝０でここからがどうしたらよいでしょうか。
何度もすみません。

回答No.3

inara

> cos(2A) = cos(A)^2 - sin(A)^2 = cos(A)^2 - { 1 - cos(A)^2 } = 2* cos(A)^2 - 1まではわかったのですが、→ cos(A)^2 = { 1 + cos(２A) }/2がわかりません。

途中の2つの式を省くと、cos(2A) = 2*cos(A)^2 - 1 ですから両辺に1を足せば、cos(2A) + 1 = 2*cos(A)^2 となります。さらに両辺を2で割れば、{ cos(2A) + 1 }/2 = cos(A)^2 です。

回答No.2

inara

和の公式と、sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1 の関係だけ憶えておけば、以下の手順で計算できます。

【和の公式】
　　sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)　サイン・コスコス・サイン
　　cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)　コスコス・マイナス・サインサイン
　　↓
【倍角の公式】　和の公式で a = b = A とする
　　sin(2A) = 2*sin(A)*cos(A)
　　cos(2A) = cos(A)^2 - sin(A)^2 --- (1)
　　↓
【半角の公式】　倍角の公式を使う
　・cosの半角公式
　　 (1) から、cos(2A) = cos(A)^2 - sin(A)^2 = cos(A)^2 - { 1 - cos(A)^2 } = 2* cos(A)^2 - 1
　　 → cos(A)^2 = { 1 + cos(２A) }/2
　　 A → a/2 と置き換えれば、cos(a/2)^2 = { 1 + cos(a) }/2 --- (2)
　・sinの半角公式
　　 (2) から、cos(a/2)^2 = 1 - sin(a/2)^2 = { 1 + cos(a) }/2
　　 →　sin(a/2)^2 = 1 - { 1 + cos(a) }/2 = { 1 - cos(a) }/2

半角の公式を導くには、sinの和の公式は使わないのですが、一緒に憶えておきましょう。

（い）と（う）についてはMr_Hollandさんのコメント通りです。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
再質問させていただきましたが、一旦このレスを終了し再び新レスを作ります。勝手して申し訳ございません。

補足

ご協力ありがとうございます。
cos(2A) = cos(A)^2 - sin(A)^2 = cos(A)^2 - { 1 - cos(A)^2 } = 2* cos(A)^2 - 1まではわかったのですが、→ cos(A)^2 = { 1 + cos(２A) }/2がわかりません。なぜ、そういう風になるのですか。
ぜひ、教えてください。