• ベストアンサー
  • 困ってます

三角関数の問題です

0≦θ<πのとき、y=8√3cos2+6cosθcosθ+2√3sin2θは y=[ア]sin([イ]θ+π/[ウ])+[エ]√[オ]となる。という問題がわかりません。 (半角の2は2乗ということです。ウのところはウ分のπということです。) 2倍角、半角の公式を用いてsin2θ、cos2θの一次式に変形させて解くみたいなのですが、よくわかりません。 三角関数は苦手なので、細かい所まで教えていただけると助かります! 火曜日にみんなの前で解かないといけないので、よろしくお願いします!

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数318
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4

mana99さんの書かれた式ですが、 第一項目「8√3cos2」となっていますが、これは「8√3(cosθ)^2」なのですね?第三項目も二乗の意味ですよね? それと、第二項目が、「6cosθcosθ」となっていたのですが、これは「6sinθcosθ」の間違いではないですか? 多分そうであろうと踏んだ上で・・・ 8√3(cosθ)^2 + 6sinθcosθ + 2√3(sinθ)^2 は、まず答えから言うと、 6sin(2θ+π/3) + 5√3 となります。 以下説明。余計だったらごめんなさい。 1.半角の公式を使って、(sinθ)^2と(cosθ)^2を(←これらは2次式)1次式に直します。 半角の公式は (1)(cosθ)^2 = {1+cos(2θ)}/2 (2)(sinθ)^2 = {1-cos(2θ)}/2 です。これは cosの加法定理↓ cos(θ+φ)=cosθcosφ-sinθsinφ においてφのかわりにもう一度θをいれて 2倍角の公式↓がでますね cos(θ+θ)=cos(2θ)=(cosθ)^2-(sinθ)^2 =(cosθ)^2-{1-(cosθ)^2}=2(cosθ)^2-1 そして、この最後の式=cos(2θ)でしたので、移項して整理すると半角の公式の(1)がでます。(2)は(cosθ)^2+(sinθ)^2=1の関係から、(1)を使ってすぐに出ます。 と、長くなりましたが、半角の公式(1)(2)をつかって、 8√3(cosθ)^2=4√3(cos(2θ))+4√3 2√3(sinθ)^2=-√3(cos(2θ))+√3 と、一次式の形にできました。 2.二倍角の公式をつかって6sinθcosθを1次式に直します。 sinの二倍角の公式は sinの加法定理↓ sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ のφにθを代入して sin(θ+θ)=sin(2θ)=2sinθcosθ です。ここから、 6sinθcosθ=3sin(2θ) とできました。 ここまでを整理すると与えられた式は 3sin(2θ)+3√3cos(2θ)+5√3 となりますね。 3.sinとcosの合成をつかって、sinとcosをsinひとつだけにまとめます。 3sin(2θ)+3√3cos(2θ) をsin(なんとか)にまとめたときの係数(長さ)は、もとのsinとcosの係数を「二乗して足したものの平方根」になっています。つまり(3)^2+(3√3)^2=36ですから、6です。 xy平面を書いて、x軸上にsinの係数である3を、y軸上にcosの係数である3√3を書いてみてください。そして、座標(3,3√3)を書いてみると、原点との距離がちょうど6になりますよね。 ここまでで 3sin(2θ)+3√3cos(2θ)=6sin(2θ+α)であることがわかります。最後にこのαですが、これは、先ほど書いたxy平面の、(3,3√3)が、x軸となす角度、つまり60度です。これをπであらわしているので、α=π/3となります。 以上で終わりです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数II・三角関数

    【問1】x≧0を満たすすべてのxに対して、 不等式xcos^2α+2√3xsinαcosα-(x-4)sin^2α-1>0…(1) が成り立つようなαの値の範囲を求めよ。ただし、0≦α≦π/2とする。 (1)の左辺をxについて整理すると (√3sinアα+cosイα)x+(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0であり、 x≧0を満たすすべてのxについて(1)が成り立つ条件は √3sinアα+cosイα≧0かつ(ウsinα+エ)(オsinα-カ)>0が成り立つことである。 これより、求めるαの値の範囲はπ/キ<α≦クπ/ケコである。 【問2】0≦Θ<2πのとき、y=sin2Θ+2√2sinΘ+2√2cosΘ-4とする。 x=sinΘ+cosΘとおくと、2sinΘcosΘ=x^ア-イであるからy=x^ウ+エ√オx-カである。 ここで、x=√キsin(Θ+π/ク)であるから、xのとりうる値の範囲は-√ケ≦x≦√コである。 したがって、yはΘ=π/サのとき最大値シをとり、Θ=スπ/セのとき、最小値ソタをとる。

  • 三角関数の問題です

    問題がわかりません。教えていただくと助かります。 2cos^2θ-√3 sin2θ-(2a+1)(√3 cosθ-sinθ-1)=0 …(1) を考える。ただし、0≦θ<2π とする。 t=cos (θ+π/6) とおくと 4t^2=アcos^2θ-√イ sin2θ+ ウ であるから。(1)は t^2-(エ+オ/カ)t+ キ/ク = 0 a=3 のとき(1)の解は θ=π/ケ または コ / サ π である。 また、a=シ または スセ のとき(1)は 0≦θ<2π の範囲に3個の解をもつ。 (1)をどう、展開していけばいいのか教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 三角関数

    0<θ<πとして y=cos(πsinθ)sin(πsinθ) ア<sinθ≦イであるから、y>0となるのは、θについて 0<sinθ<ウ/エ が成り立つときである。 したがって、y>0となるのは 0<θ<オ/カπ、キ/クπ<θ<π のときである。 という問題ですが。 ア0 イ1までしか分かりませんでした。 どなたかよろしくお願いします。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

まず、[ア]sin([イ]θ+π/[ウ])の形から、三角関数の合成が行われるんだなと判断します。ということは、二乗とか、cosθsinθはなんか嫌じゃないですか? ここで有名なsin^2θ+cos^2θ=1 と、sin2θ=2sinθcosθ の式を使おうかなっと考えてください。 前者の式を使いsinかcosのどっちかにそろえてください。なんで揃えるかというと、cosの倍角公式が使いたいからです。なんで倍角公式が使いたいかというと、合成するときにsin2θとcos2θが欲しいからです。 あとは計算するだけです。合成方法は教科書を読んでください。 数学の問題を解くとき「こうしたいな」という考え方でいてください。式変形にはちゃんと意味があるのですから。 自分の持ってるカードはどれで、いつそのカードを使おうかなって感じで。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

問題に写し間違いがないですか?  y=8√3{cos(θ)}^2+6sin(θ)cos(θ)+2√3{sin(θ)}^2 ではないですか? ヒントを書くと sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(2θ) = 2{cos(θ)}^2-1 = 1-2{sin(θ)}^2 より sin(θ)cos(θ),{cos(θ)}^2,{sin(θ)}^2 はそれぞれsin(2θ)とcos(2θ)の式で表せますよね そうしたら元の式に代入して 元の式をsin(2θ)とcos(2θ)だけの式にしてしまいます 次に三角関数の合成をすれば答えの式になります  a*sin(θ)+b*cos(θ)=√(a^2+b^2)*sin(θ+α)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

cosθcosθとはcosθsinθの間違いですか? それともcosθの二乗ですか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ごめんなさい!そうです!6sinθcosθです!

関連するQ&A

  • 三角関数について

    三角関数について f(θ)=cos^2+2/3√3sinθcosθ-sin^2 f(θ)=√3/3sin2θ+cos2θ =2√3/3sin(2θ+60°) (1)f(135°)=-√3/3であり、角α(0°≦α≦90°)がf(α)=f(135°)を満たすならα=75°である。 という問題があるのですが、(1)がわかりません。 詳しく解説していただけると有り難いです。

  • 三角関数の最大・最小の問題がわかりません

    0≦θ<2πのとき、y=sin2θ+√2sinθ+√2cosθ-2とする。 x=sinθ+cosθとおくと、2sinθcosθ=x^2-1であるから y=x^2+√2 x-3である。 ここで、x=√2 sin(θ+π/4)であるから、xのとりうる値の範囲は-√2≦x≦√2である。 ここまではわかりました、何か間違っていたら教えてください。ここからがわかりません。 したがって、yはθ=π/ア のとき、最大値イをとり、 θ=ウπ、エπのとき最小値オをとる。 解法お願いします。

  • 三角関数

    0≦α≦πとする。x≧0を満たすすべてのxに対して、不等式 2xsinαcosα-2(√3x+1)cos^2α-√2cosα+√3x+2≧0 が成り立つための条件は sinアα≧√イcosαウαかつ エcos^2α+√オcosα-カ≦0が成り立つことである。 これより、αの値の範囲は キ/クπ≦α≦ケ/コπである。 角がバラバラなので2倍角の公式等で揃えようとしましたが、私には無理でした。どなたか教えて下さい。

  • 三角関数について

    次の三角関数の問題がわかりません。 お願いです! やり方を教えてください! 1 tanθ=4のとき、次の値を求めよ。    (1) cos2乗θ    (2) 1+sinθ分の1+1-sinθ分の1 2 θが鋭角で、sinθ-cosθ=2分の1のとき、sinθcosθ、sinθ+cosθの値を求めよ。 3 sin2乗θ=3sinθcosθ-1のとき、tanθの値を求めよ。 以上の問題です。 お願いします!

  • 三角関数の問題です

    三角関数の問題です。0を原点とする座標平面において、2点P、QをP(cosΘ,sinΘ),Q(√3sin2Θ,√3cos2Θ)とする。ただし0<Θ<π/2とする。 sin2Θ=cos(π/2―2Θ),cos2Θ=sin(π/2―2Θ)であるから、3点0、P、Q が同一直線上にあるのはΘ=π/□の時である。 □の求め方がわかりません。どなたか教えてください。宜しくお願いします。

  • 三角関数の問題です。

    [1] cos2x=cos3x (1) 2x=ア+2nπ (n=0,±1,±2,・・・) アにあてはまるものを次のうちから選べ。 0→ ±3x 1→ ±3x+π/2 2→ ±3x+π 3→ ±3x+3π/2 したがって、0<x<πの範囲で(1)を満たすxは x=イπ/ウとx=エπ/オの2個存在する。 [2] イπ/ウ=α,エπ/オ=βとし、 |sinα|=a,|cosα|=b,|sinβ|=c,|cosβ|=d とおくと,a~dの大小関係は次のようになる。   カ<キ<ク<ケ カキクケにはa~dのうちから適するものを選べ。 センター試験レベルですが解説つきで教えてくださいいい。 あとやってみた感じの難易度もおねがいします。

  • 三角関数の問題がわかりません・・・

    三角関数の問題がわかりません・・・ 関数f(θ)=6sinθcosθ-8sin^3θcosθ+2cos^2θ-1について、 (1)sin2θ+cos2θ=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。 (2)f(θ)をtを用いて表せ。 (3)f(θ)の最大値を求めよ。 という問題なのですが、 丸投げな質問ですみません。ですが問題がさっぱり?で解こうにも解けませんでした。 この問題のヒントとして (2)は f(θ)=sin2θ+cos2θ+2sin2θcos2θ と書いてあったのですがこれも?でした。どうか解き方を教えてください。お願いします!

  • 三角関数の問題のわからないところ

    センターの三角関数の問題です。わからないところ以外の空欄は埋めています。 0°≦θ≦180°のとき、f(θ)=√2(sinθ-cosθ)-sin2θ+3とする。 f(θ)=(sinθ-cosθ)^2 + √2(sinθ-cosθ) + 2である。 t=sinθ-cosθとおくと、 t=√2sin(θ-45°), -1≦t≦√2である。 f(θ)の最大値は6でこのときθは135°である。 f(θ)=5であるときt=(√14 - √2)/2 であり、f(θ)=5を満たすθをθ[1],θ[2]とするとき、 θ[1]+θ[2]=(   ) 最後のカッコのところがわかりません。お願いします。

  • 三角関数

    大至急お願いします。数学の問題です Oを原点とする座標平面上に定点A(3,3√3)、動点P(p,q)をとる。 ただし、0≦θ<2πとして、 p=√3cosθ-sinθ q=√3sinθ+cosθ とする。 (1)線分OAの長さは(ア)であり、線分OAとx軸のなす鋭角はπ/(イ)である。 また、 q=(ウ)sin{θ+π/(エ)} と変形でき、同様に p=(ウ)cos{θ+π/(エ)} と変形できる。また、 OP=(オ) である。 (2)線分APの長さが最大になるのは、θ=(カ)/(キ)πのときであり、このとき、線分APの長さは(ク)である。 (3)△OAPが直角三角形になるようなθの値は、全部で(ケ)個ある。 途中式もお願いします

  • 三角関数の問題

    三角関数の問題  「(1-conθ)/sinθ+(1-sinθ)/conθ の最大値、最小値を求めよ   ただし 0<θ<π/2」 という問題なのですが、式を変換して  (sinθ+cosθ-1)/sinθcosθ となって、三角関数の合成と二倍角の公式で  { 2√2sin(θ+π/4)+2 }/sin2θ となりましたがそこから先が分かりません。合成などしなくて良いのでしょうか。誰かヒントをください!!!

専門家に質問してみよう