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三角関数

0≦α≦πとする。x≧0を満たすすべてのxに対して、不等式 2xsinαcosα-2(√3x+1)cos^2α-√2cosα+√3x+2≧0 が成り立つための条件は sinアα≧√イcosαウαかつ エcos^2α+√オcosα-カ≦0が成り立つことである。 これより、αの値の範囲は キ/クπ≦α≦ケ/コπである。 角がバラバラなので2倍角の公式等で揃えようとしましたが、私には無理でした。どなたか教えて下さい。

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x≧0でxの一次関数:f(x)=Ax+B≧0が成立するための条件は、A≧0、and、B≧0。 何故なら、x≧0でf(x)の最小値=f(0)≧0であれば良い。 A≦0であれば、x≧0で最大値はあるが、最小値はない。 2xsinαcosα-2(√3x+1)cos^2α-√2cosα+√3x+2=(sin2α-√3cos2α)x-(√2cosα-1)(cosα+√2)≧0. 従って、sin2α-√3cos2α≧0、and、(√2cosα-1)(cosα+√2)≦0. cosα+√2≧0であるから、sin2α-√3cos2α≧0、√2cosα-1≦0を解くだけです。

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ご回答ありがとうございました。 先日の三角関数の問題でもお世話になりました。 助かりました。

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  • 回答No.2

2xsinαcosα-2(√3x+1)cos^2α-√2cosα+√3x+2≧0 2xsinαcosα-2cos^2α-√2cosα+√3x(-2cos^2α+1)+2≧0 倍角の公式より 2sinαcosα=sin2α 2cos^2α-1=cos2α xsin2α-2cos^2α-√2cosα-√3xcos2α+2≧0 x(sin2α-√3cos2α)-(2cos^2α+√2cosα-2)≧0 x≧0より、この不等式が常に成り立つ条件は sin2α-√3cos2α≧0 ⇒ sin2α≧√3cos2α 2cos^2α+√2cosα-2≦0 よって上記の条件から tan2α≧√3 tan2α=√3のとき 2α=π/3+nπ よって α=(π/6)+(nπ/2) 0≦α≦π より α=π/6 , 2π/3 tanθはπ周期で単調増加で また2αは π/2+nπ の値を取れないので π/3≦2α<π/2 2π/3≦2α<3π/2 よって π/6≦α<π/4 π/3≦α<3π/4 2cos^2α+√2cosα-2≦0 より cos^2α+(1/√2)cosα-1≦0 (cosα-1/√2)(cosα+√2)≦0 cosα+√2≧0 より cosα-1/√2≦0 cosα≦1/√2 つまり α≧π/4 上記の条件より π/3≦α<3π/4 が答えとなる。 若干問題の穴埋めとは違いますが たぶんこんな感じです。

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夜分遅くに回答していただきありがとうございます。 丸写しではあまり意味が無いので自分で理解しながらノートに書きたいと思います。

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