三角関数の微分

質問

(cos3x)'
=-sin3x・(3x)'
=-3sin3x

となりますが、なぜ
＞=-sin3x・(3x)'
のようになるのかがよくわかりません。
教科書には(sinx)'=cosx(公式として)とでていたので、
答えは-sin3xかと思ったのですが、ちがうようです。

数学がお得意のかた、よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんばんは。

まず、(cos3x)'というのは、y=cos3xとおくと
yをxで微分した、ということですよね。
これは、dy/dx　とかきますよね。

ここで、3x=tと置いてみましょう。
yをxで微分したものdy/dxを求めたいのですが、
y=cost
とおいたので、yをtで微分したものは、
dy/dt=-sint
ですよね。
でも、求めたいものは、dy/dxです。

ですから、dy/dxに直せばいいのです。
dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・（☆）
とするといいですね。

ところで、3x=tとおいたので、
dt/dx=3です。
これを（☆）に代入すればいいのです。

以上のことから、
dy/dx=dy/dt*dt/dx=-sint*3
=-sin(3x)*3
=-3sin3x
ということが分かると思います。

補足

ご回答どうもありがとうございます！

＞dy/dxに直せばいいのです。
これはそのとおりだーと思ったのですが、
＞dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・（☆）
なぜこのような式が成り立つかがよくわかりません・・。
たしかdy/dxというのは分数ではないんですよね？
分数みたいにみると成り立ってるなーって思うんですが(．．
よかったら教えて下さいm(__)m

回答No.3

fushigichan

stripeさん、こんばんは。
＃１fushigichanです。お礼ありがとうございます。

＞＞dy/dx=dy/dt*dt/dx・・・（☆）
＞なぜこのような式が成り立つかがよくわかりません・・。
たしかdy/dxというのは分数ではないんですよね？

う～ん・・鋭いですね・・
これは、確かに分数ではありませんね。一見分数みたいですが・・

これは、公式として覚えておいたらいい式なんですが、
どうしてそうなるのか？というと、やはり定義にもどったほうがよさそうです。
ちょっと考えてみましょう。

まず、yはtの関数であって、tはまたxの関数になっているので

y=f(t)
t=g(x)
のように置くことができますよね。

さて、今xを、少し増やしてx+Δxとします。
x→x+Δx
これに対して、
t→t+Δt
y→y+Δy
となるはずですが、それぞれの増分を

Δt=g(x+Δx)-g(x)
Δy=f(t+Δt)-f(t)

とおくことができるので、
Δy/Δx=(Δy/Δt)*(Δt/Δx)　←これは、分数です。
ただ単に、ΔyをΔxで割ったものは、
ΔyをΔtで割ったものに、ΔtをΔxで割ったものをかけたものになっています。

このとき、Δx→0としたときの極限を考えると、
lim　Δy/Δx=limΔy/Δt*limΔt/Δx
Δx→0　　　Δt→0　　　Δx→0

であるから、
dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)

という公式が成り立つのです。
xの増分を限りなく小さくしていったときに、
tの増分と、yの増分も小さくなっていくことがポイントです。

なお、厳密に言えば、Δx≠0,Δt≠0が必要になってくるのですが
ここでは、ややこしくなりますから、上の方法を理解してください。

もし、ごちゃごちゃしてきて理解しにくかったら
今のところは、これを公式として覚えてしまってください。
微分の問題を解いていくうちに、あとから理解がついてくるものと思います。
頑張ってください！！

お礼

ご回答ありがとうございます！

説明していただいたおかげでなんで何とかわかりまた～(＾＾)

＞微分の問題を解いていくうちに、あとから理解がついてくるものと思います。
まだまだよくわからない公式や考えかたがたくさんあるんですが、とりあえずがんばってやってみようと思います(
＾＾)

ほんとうにありがとうございました！

回答No.2

jmh

「関数ｆ(x)」というのは誤りであり、正確にはｆが関数で、
ｆ(x) は関数ｆのｘにおける値であることに注意して読んで下さい。

問題の「(cos(３ｘ))' を求めよ」とは、普通、
「ｘの関数 cos(３ｘ) の導関数を求めよ」
「θの関数 cos(３θ) の導関数の θ＝ｘ における値を求めよ」
という意味です。
公式 (cosｘ)'＝－sinｘ は、
「θの関数 cosθ の導関数の θ＝ｘ における値は －sinｘ に等しい」
と言っています。
従って、この公式の ｘ に ３ｘ をあてはめるのは、
「θの関数 cosθ の導関数の θ＝３ｘ における値を求めた」
ことになります。

これを、簡単に書くと
公式は (cos)'(ｘ)＝－sinｘ であり、
問題のは (cos３)'(ｘ)＝－３sin(３ｘ) です。

お礼

どうもありがとうございます！
あんまりよくわかってないんですが、

＞「θの関数 cosθ の導関数の θ＝３ｘ における値を求めた」
というのは、簡単にいうとどういうことなのでしょうか？
あんまりよくわかってないんです(泣
よかったら教えて下さい！