三角関数の最大・最小問題がわかりません

質問

関数cosｘ+2√3sin(ｘ+π/3)の0≦ｘ≦π/2での最小値と最大値を求めよ。

と言う問題で

三角関数の合成より
2√3sin(ｘ+π/3)=√3sinｘ+cosｘ
であるので
与式＝√3sinｘ+4cosｘ
　　＝√19sin(ｘ+θ）
ただし角θは cosθ＝√3/√19　sinθ＝4/√19　を満たす角である。

というところまで分かりました。
しかしこの続きをどう書けば良いか分かりません。

かなり初歩的な問題であるのは承知しておりますがお助けいただければ幸いです。
また書いた式自体も間違っていたらご指摘ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

LightOKOK · ベストアンサー

0≦x≦π/2　より
θ≦x+θ≦π/2+θ　となる。

したがって、最大となるのは、x+θ=π/2　のとき
すなわち、x=π/2-θ　のとき、最大値√19

また、tanθ=4/(√3)>1　なのでθ＞π/4
したがって、最小となるのは、x+θ=π/2+θ　のとき、
すなわち、x=π/2　で最小値√19sin(π/2+θ)

こんな風にすすめればいい。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
いいところまで解けていますね。

最大・最小を一気に片付けるのもいいですが、順番に考えてみましょう。

・まず、cosθ＞ 0、sinθ＞ 0ですから、θについて 0＜θ＜π/2となります。
θは正の数であることから、θ≦ x+θ≦π/2+θとなります。

・上の不等式をもう少しよく見ると、x+θ＝π/2となるときが含まれていることがわかります。
このときに、最大ですね。

・さて、最小の方ですが単位円を描いて考えてみます。
「θのとき」か「θ+π/2のとき」のいずれかで最小となるはずです。
θがどのような値であれば、この大小を決めることができますか？

大ヒント：sinα＝sin(α+π/2)となるαを考えてみましょう。