三角関数で範囲

質問

y=cosX-2sinX
という問題です。
合成すると
y=√5cos(X+α)
ここで、
だだしαはcosα=1/√5 sinα=2/√5
となっています。
計算上
cosα=2/√5が正しくないですか？・・・★
例を書くと、
cosX+sinXでも
√2cos(X + 1/√2)
つまりcosα=1/√2になってるわけで、
★と同じことをしているわけだから、
あれは間違っているのでは・・・

あとまだ解答は続くんですが、
0≦X≦π　より　α ≦ X+α ≦ π+α
ここまでは納得ですが、次に
-1≦cos(X + α)≦1/√5
これは円をかくと大体わかりました、
しかし次のいきなり答え。

最大値1(X = 0のとき)
最小値-√5(X = π-α のとき)

π-αっていうのもよくわからないです。
アドバイスお願いします・・

回答No.3

debut · ベストアンサー

前半部分ですが、これは syakedana さまの誤解ではないかと思います。

合成してできた式　√5cos(x+α)の中で、αは角のことをいっているのであって、三角比の値
を直接述べてはいないと言うことです。
だから、cosx+sinx の合成した式は √2cos(x-π/4) [ただし-π＜α≦πと考えたとき]というのが
正しい式になります。

次に、最大値、最小値ですが、円をかいて　-1≦cos(X + α)≦1/√5　までわかっているなら
後はこの式の各辺に√5をかけて　-√5≦√5cos(X + α)≦1　とすれば、最初に合成した式が
中央に出てくるから、最大値は1,最小値は-√5とわかるわけです。

さて、そのときのxの値ですが、それは√5倍する前の不等式をもう一度見てみますと、
cos(x+α)が最小になるのは-1ですから、cos(x+α)=cosπ となるとき、つまり x+α=π　で x=π-α
cos(x+α)が最大になるのは1/√5ですから、cos(x+α)=cosα となるとき、つまりx+α=α で x=0

このような見方で求めているのです。

いろんな式が出てきて混乱しがちになりますが、一つ一つ明確にしていってください。

回答No.2

info22

＞だだしαはcosα=1/√5 sinα=2/√5
となっています

これが正しいです。
cos(A+B)＝cosAcosB-sinAsinB
という公式を適用して
A=X,B=α
と置いてみてください。
cosα=1/√5 sinα=2/√5であることから
cos(X+α)＝cosXcosα-sinXsinα
＝cosX (1/√5) -sinX (2/√5)
つまり
√5 cos(X+α)＝cosX -2sinX
となりますよ。

＞√2cos(X + 1/√2)
√2cos(X +π/4)
のミスですね。
たまたま
1/√2＝cos(π/4)＝sin(π/4)
であるため勘違いさてていると思います。

sin(A+B)とsin(A-B)
cos(A+B)とcos(A-B)
の展開式（加法定理）を良く復習してください。

＞-1≦cos(X + α)≦1/√5
これも間違いです。
-1≦cos(X + α)≦1
ですよ。

＞y=cosX-2sinX
という問題です。合成するとy=√5cos(X+α)
問題が正確でないです。
y=cosX-2sinX　（0≦X≦π）の最大値、最小値とその時のXを求める問題でないですか？

最大値√5を与えるXは
X+α＝2nπ→X＝2nπ-α
0≦X≦πから X=2π-α

最小値-√5を与えるXは
X+α＝(2n+1)π→X＝(2n+1)π-α
0≦X≦πから X＝π-α

だだしαはcosα=1/√5、 sinα=2/√5を満たす範囲
0＜α＜π/2の角度。

回答No.1

eu-daimonia

あってると思います。
y=√5(1/√5・cosX－2/√5・sinX）となり
公式＜cos(α＋β）＝cosα・cosβ－sinα・sinβ＞より
1/√5=cosα、2/√5=sinαとなります。

また最小値はcos(X+α)＝－1のときなので
X+α＝180°したがってX=180°－α＝π－αとなります。