三角関数の合成の問題について

質問

０°≦x≦９０°のとき、2sinx+cosxの最大値と最小値を求めよ。（大学への数学IIP68)
という問題があるのですが、

解答）
図1のようにαを定めると、45°<α<90°であり、
（図１とはｘ軸方向に１、ｙ軸方向に２を取りその棒の距離を√5、なす角をαとした図です。)

2sinx+cosx=√5［cosx*(1/√5)+sinx*(2/√5)］
=√5(cosx*cosα+sinx*sinα)=√5cos(x-α)

0°≦ｘ≦90°により、-α≦x-α≦90°-αであるから、
x-α=0°のとき最大値√5を取り、
x-α=-α、つまりx=0°のとき最小値2sin0°+cos0°=1を取る。　（おわり）

何故最初にわざわざ45°<α<90°と置くのか分かりません・・・
どうかよろしくお願い致します。

回答No.1

kuwaman091 · ベストアンサー

解答がわかりにくいね。なんで三角関数の合成でcosをわざわざ使ったんだろう。

(別解)
2sinx+cosx=√5sin(x+k)

sink=1/√5,cosk=2/√5
つまり
kは0°から45°の範囲の中にある
なぜなら
sink<sin45°を満たす。
実際に
1/√5<√2/2
全体を2乗すると
1/5<1/2 で明らか。

よって、k<=x+k<=90°+k
√5sin(x+k)の最大値はx+k=90°のときで√5
最小値はx+k=kのときなので
√5sin(x+k)=√5sink=1である。

お礼

sinを使っても合成問題を解けるのですね。
しかも分かりやすいです！

>kは0°から45°の範囲の中にある
とすることで、最大値のとりうる範囲を絞り出すのですね。
合成の本質が見える気がします。

ありがとうございました>_<

回答No.2

R_Earl

> 何故最初にわざわざ45°<α<90°と置くのか分かりません・・・

解答の1行目に『図1のようにαを定めると、45°<α<90°であり』と書いてあります。
『45°<α<90°』となるようにαを置いたわけではありません。
『図1を描いたら、αが45°より大きく、90°より小さかった』だけです。

具体的にαが何度になるか分からないので、
『αは45°より大きく、90°より小さい』としか記述できないんです。

お礼

ありがとうございます！
具体的に何度になるか分からないαを、40度より大きくて、90度より小さいと表現しただけなのですね。