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高1 数学II 三角関数の問題

問一 三角形ABCにおいて、AB=3、CA=4、角B=2X、角C=Xとする。 このとき、次の値を求めよ。 (1)cosX (2)sinX (3)BC 問二 0≦x<2πのとき、次の関数の最大値、最小値、またそのときのxの値を求めなさい。 (1)y=sin2乗x+2√3sinxcosx+3cos2乗x (2)y=3sin2乗+4sinxcosx-cos2乗x ちなみに、答えは 問一の(1)2/3 (2)√5/3 (3)7/3    問二の(1)MAXは4(x=π/6と7π/6) MINは0(x=2π/3と5π/3) (2)MAXは2√2+1(x=3π/8と11π/8)、MINは-2√2+1(x=7π/8と15π/8) となっています。どうすれば、このような答えを導けるかできるだけ早く回答願います。

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  • 回答No.2
  • info22_
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#1です。 続いて 問二について (1)  y=sin^2(x)+2√3sinxcosx+3cos^2(x)   =(sin(x)+√3cos(x))^2 =4(sin(x)(1/2)+cos(x)(√3/2))^2   =4(sin(x)cos(π/3)+cos(x)sin(π/3))^2   =4sin^2(x+(π/3)) 0≦x<2πより π/3≦x+π/3<2π+π/3  sin(x+(π/3))=±1の時 x+π/3=π/2, 3π/2 ∴x=π/6, 7π/6   この時 yの最大値=4  sin(x+(π/3))=0の時 x+π/3=π, 2π ∴x=2π/3, 5π/3   この時 yの最小値=0  (2)  y=3sin^2(x)+4sinxcosx-cos^2(x)   =2sin^2(x)+4sinxcosx-2cos^2(x)+1   =2(sin^2(x)+2sin(x)cos(x)-cos^2(x))+1   =2(sin(2x)-cos(2x))+1   =2√2sin(2x-(π/4)) 0≦x<2πより -π/4≦2x-(π/4)<4π-(π/4) なので 2x-(π/4)=π/2, 5π/2 ⇒ x=3π/8,11π/8 の時 yの最大値=2√2+1 2x-(π/4)=3π/2, 7π/2 ⇒ x=7π/8,15π/8 の時 yの最大値=1-2√2

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  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

取り敢えず 問一 のみ (1) 正弦定理より  AB/sinC=CA/sinB ⇒ 3/sin(X)=4/sin(2X)  3sin(2X)=4sin(X)  3sin(2X)-4sin(X)=0 2倍角の公式より  6sin(X)cosX-4sin(X)=0  sin(X)(cos(X)-(2/3))=0 0<∠B+∠C=2X+X=3X<πより 0<X<π/3 ...(★) なので sin(X)≠0であるから  cos(X)=2/3 ...(◆) (2) (★)より 0<sin(X)<√3/2 なので  sin(X)=√(1-cos^2(X))=√(1-(2/3)^2)=√5/3 (3)  cosA=cos(π-(B+C))=-cos(B+C)=-cos(3X) 三倍角の公式より    =-4cos^3(X)+3cos(X)   =-4(2/3)^3+3(2/3)=-32/27 +2=22/27 余弦定理より  BC^2=AB^2+CA^2-2AB*CAcosA    =3^2+4^2-2*3*4*22/27=55-6/9=49/9  BC=7/3  

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