すべての実数xに対し、-4≦sin2x+a(sinx+cosx)+a≦

質問

すべての実数xに対し、-4≦sin2x+a(sinx+cosx)+a≦9が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。という問題なのですが

sinx+cosx=tと置くと、sinx+cosxを2乗して、1+2sinxcosx=t^2,sin2x=2sinxcosx=t^2-1よりsin2x+a(sinx+cosx)+a=
t^2+at+a-1と置けますよね。ここでsinx+cosx=t=√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=√2sinx(x+π/4)より-√2≦t≦√2
となると思うのですが、ここからが分かりません。平方完成したときにf(t)=(t+a/2)^2-(a^2/4)+a-1となりますがこのとき軸 t=-a/2の位置で場合分けするとありますが、解答を見ると軸≦-√2のときと軸＞√2の場合が記載されています。軸＞√2の場合は結局そのような値はないという解答になるのですがそれ以前にtのとりうる範囲は-√2≦t≦√2なのになぜ軸≦-√2のときと軸＞√2の場合を調べるのはおかしくないですか？どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞ただ一つ軸の位置が -√2≦ t≦ √2以外の位置にいることが理解できません。
言い方が少し乱暴ですが、
逆に「なぜ軸が -√2≦ t≦ √2の範囲内になければならないのですか？」
と問われたらどう答えますか？＾＾；

＞例えば軸が-√2以下の場合だと-a/2≦-√2よりa≧2√2というように
＞軸の位置がaの範囲に影響しています。
そうですね、確かに aの場合分けとなります。
しかし、2次関数の変数はあくまでも「t」ですよね。（tの 2次関数として変形してますよね。）

tは、あらゆる実数をとる変数：xを置き換えたものということができます。
そして、aは「定数」です。
変数である tと定数である aは、直接関係がありません。
（もとの式で xはあらゆる実数をとりますが、aの値に xは無関係ですよね。aの値によって最大値・最小値の値が変わるだけです）

なにが変数で、なにが定数かが混乱しているのかもしれませんね。
確かにいろいろな文字が出てくるので・・・

#1の冒頭でも書きましたが、
「tの 2次関数：f(t)＝ t^2+ at+ a- 1の -√2≦ t≦ √2における最大値・最小値を求めよ。」
という問題は、数Ｉの問題として解いたことがあると思います。
このときの解答を見直してみるのもいいかもしれません。

お礼

なるほど！原点に帰って考え直せば難しい問題ではありませんでしたね！回答者様のおかげでこんがらがっていた頭が整理できました。これからも質問したときにはよろしくお願いいたします。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミスに今頃気がついた。

(誤)もちろん、-√2≦t≦√2　の時は最大値や最小値はあるのはわかるだろう。
しかし、｜t｜≧√2　の時に最大値と最小値がなかったか？　

(正)もちろん、-√2≦-a/2≦√2　の時は最大値や最小値はあるのはわかるだろう。
しかし、｜-a/2｜≧√2　の時に最大値と最小値がなかったか？

回答No.3

mister_moonlight

＞tのとりうる範囲は-√2≦t≦√2なのになぜ軸≦-√2のときと軸＞√2の場合を調べるのはおかしくないですか？

見かけは三角関数だが、置き換えてしまえば単なる2次関数の問題。
-√2≦t≦√2　のとき、t＾2＋at＋a-1　の最大値と最小値について、最大値≦9、最小値≧-4　になるためのaの条件を求める事になる。

三角関数のこのレベルの問題だから、質問者は高2以上だろう。
軸の位置によって2次関数の最大値や最小値が変わるのは、高1で飽きるほどやってないか？
もちろん、-√2≦t≦√2　の時は最大値や最小値はあるのはわかるだろう。
しかし、｜t｜≧√2　の時に最大値と最小値がなかったか？　その時の事を思い出してみるといい。
基本的な事が理解されていないのだろうか？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

tの式で書き換えてしまえば、2次関数の問題に帰着されますね。
解答の方針と合わせて、問題を整理しておくと、
tの 2次関数：f(t)＝ t^2+ at+ a- 1の -√2≦ t≦ √2における最大値・最小値を求めよ。
（ここからさらに、最大値≦ 9、最小値≧ -4となる aの範囲を考えていく。）

となります。

たとえば、最小値を求めることを考えたとき、
(i) 軸がこの範囲より「左側」にあれば、左端である t＝ -√2のときに最小値をとる
(ii) 軸が「この範囲内」にあれば、t＝ -a/2のときに最小値をとる
(iii) 軸がこの範囲より「右側」にあれば、右端である t＝ √2のときに最小値をとる

となりますね。

あくまでも f(t)の値を考える範囲（定義域）は -√2≦ t≦ √2ですが、
軸の位置によって定義域におけるグラフの形が変わるので、軸の位置で場合分けをしないといけないことになります。

イメージとしては、aの値が変化すると軸の位置が左→右（右→左でもいいです）へと、ずずっと移動していきますね。
そのとき、-√2≦ t≦ √2の部分だけが見えるようなスリット（窓）を置いたと想像してみてください。

軸が移動していくにつれば、スリットで見えているグラフの形が
右上がり→下に凸な形→右下がり

と変わっていく様子がわかると思います。

補足

回答ありがとうございます。放物線はイメージできるのですがただ一つ軸の位置が -√2≦ t≦ √2以外の位置にいることが理解できません。例えば軸が-√2以下の場合だと-a/2≦-√2よりa≧2√2というように軸の位置がaの範囲に影響しています。あくまでも-√2≦ t≦ √2なのにtがそれ以外の範囲、即ち軸がそれ以外の範囲にいるときのaの値を求めるというのがどうも理解できません。それを説明することができたら納得できるような気がします。