y=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5)

質問

y=(cosx+2sinx+1)/(cosx-3sinx+5) xは実数全体
yの取り得る範囲を求めよ。

次のような考え方をしましたが、別解を教えてください。
右辺＝ｋとおいて、整理すると、
sin(x+a)=-(5k-1)/√(10x^2+10k+5)
ここで左辺が－１から１までの値をとるから
右辺も－１から１までの値をとるｋの範囲を求めると
（10-２√１０）／１５から（10＋２√１０）／１５
となりました。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

途中計算でどこかで間違っているようです。
>（10-２√１０）／１５から（10＋２√１０）／１５
これは間違い。たとえばx=-π/2でy<0、x=π/2でy>1.4になり最小値、最大値は質問者さんの求めた範囲から飛び出しています。

yは周期2πの周期関数なのでyの範囲は1周期、たとえば-π<x≦πでyの取りうる範囲を調べれば十分です。
1周期の範囲に渡って増減表を作れば最小値、最大値が求まります。

-π<x≦πで考えると極小値（最小値となる）と極大値（最大値となる）が各1つずつ存在することが増減表から（グラフから）分かり、
x=-π+arcsin{(-20+52√10)/185}の時
y(min)={5√(416√10+1357)+104√50-225√5}/{5√(416√10+1357)-156√50-865√5}
=-0.176607...
x=π-arcsin{(20+52√10)/185}の時
y(max)={-104√50+5√(1357-416√10)-225√5}/{156√50+5√(1357-416√10)-865√5}
　　　=1.50994...
が求まります。

お礼

増減を調べてグラフからというのは、シンプルな方法。
シンプルが一番ですか。

回答No.2

info22_

#1です。

>増減を調べてグラフからというのは、シンプルな方法。
>シンプルが一番ですか。
確実性から言えばそうでしょう。

増減表に基づいて描いたグラフを添付します。参考にして下さい。
なお最大、最小を与えるxはそれぞれ極大、極小を与えるxに一致し　y'=0から出てきます。

お礼

値域を求めるのだから、グラフの形から攻めていくのは
自然ですね。確実に押さえられるところは押さえるというのが
セオリーですね。