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a^2+b^2=1 を満たす実数
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まず、a, b が共に実数なので、いずれも絶対値は１以下です。 簡単のため、 a≧0, b≧0 の範囲で考えます。 今、a^2 + b^2 = 1 が成立すると仮定します。 0 ≦ x ≦ π/2 の範囲で、0 ≦ sin(x) ≦ 1 かつ、sin(x) は連続な狭義単調増加関数なので、 この範囲で sin(x) の逆関数が存在します。 言い換えると、 sin(x0) = a となる、x0 が一意に存在します。 このとき、sin(x0)^2 + cos(x0)^2 = 1 は明らかです。 一方仮定から、 a^2 + cos(x0)^2 = 1 です。 つまり、cos(x0)^2 = b^2 であり、b≧0 から、cos(x0) = b が言えます。 故に、b = cos(x0) が言えます。 つまり、最初に仮定した a, b は six(x0), cos(x0) の組み合わせだったということになります。 sin(x) の逆関数が存在して、 cos(x0)^2 = b^2 から、cos(x0) = b や cos(x0) = -b が一意に導けるような範囲に分けて、論じれば照明はできると思います。
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- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
補足です。 数学の問題としては、 １）任意の x に対して、 sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 が成立しても、 ２）a ^ 2 + b ^ 2 = 1 となる、a, b に対して、 sin(x) = a, cos(x) = b となる x が存在する が成立することは自明ではないので、質問としてはおもしろいと思います。
- MSZ006
- ベストアンサー率38% (390/1011)
（sinX,cosX）はひとつの実数の組み合わせを表しているのではなくて、Xの変化に応じて無数の実数の組み合わせを表しているんですよね。逆に、そうした無数の実数の組み合わせを簡潔に表現する方法として、sin,cosが使われている、と考えてみてはどうでしょうか。
お礼
sinとcosって数学の至る所に出てきて自然な数だなあと思ってます。 ありがとうございました。
- kage_hakamada
- ベストアンサー率5% (1/19)
そんな堅苦しい事考えなくても、三平方の定理から 式を代入すればいいだけなんじゃないの？
お礼
3平方の定理にsinxとcosxを代入すれば当然与式が求まりますが、 逆に他にそのような組み合わせはあるのかな、という疑問からの質問でした。 ありがとうございました。
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お礼
ありがとうございます。 仰られた方法を参考に、a,bが負の場合も考えて証明しようと考えてたら cos(x0)^2 + sin(2π-x0)^2 = 1 ともなることに気が付きました。 幾何学的にも、つまり単位円上と0に頂点をもつ直角三角形を考えれば当然気づくべきことでした。 cox(x0)に対してbがsinの関数として4通りに取れると思います。 勝手に、(a, b)はx0を固定すれば1意に決まると思ってましたが、違ったようです。