複素数の4点が円周上にある<=>a:b=cが実数？

質問

複素数の幾何学的表示という章にこの問題がのっていました。a:b=c(比＝実数になる？)という所と証明の仕方がわかりませんアドバイスお願いします。

問題
α、β、γ、δが同一円周上(または同一直線上）にあるための必要かつ十分な条件は
(α-γ)/(β-γ) : (α-δ)/(β-δ)=m
が実数であることである。これを証明せよ。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

a:b=cという式の意味がa/b=cであるとしてお答えします。(私は寡聞にしてそのような定義を知らないので)

複素数a,bにおいて
|a/b|=|a|/|b|
arg(a/b)=arg(a)-arg(b)
となります。

a/bが実数になるということはa/bの偏角arg(a/b)が0かπであるということを意味します。
つまりarg(a)-arg(b)=0 or π　ですのでaとbの偏角は同じか、π違うということになります。

次にarg{(α-γ)/(β-γ)}を考えます。これは
arg{(α-γ)/(β-γ)}=arg(α-γ)-arg(β-γ)
となりますので∠αγβを意味します。(ここは実際にはγからみたαとβの向きが符号に絡むため注意が必要ですが道筋だけを適当に示すことを優先するため省略します)

もし、∠αγβ=∠αδβであれば、直線αβで分けられた平面上でγとδが同じ側にあればα,β,γ,δは円周角の定理(の逆)により同一円周上になります。その逆も成り立ちます。

いろいろ突っ込みどころがなる内容ですが、偏角をとって円周角の定理を用いるのが簡単そうです。

お礼

回答ありがとうございました。
ポイントごとの解説がとても参考になりました。

補足

(α-γ)/(β-γ) : (α-δ)/(β-δ)=mは誤植か何かということですね。了解です。で正しくは{ (α-γ)/(β-γ) } / { (α-δ)/(β-δ) } =mということで証明は
<=
実部が大きい順にα、β、γ、δとおく
仮定より∠αγβ=∠αδβ
(i)∠αγβ=∠αδβ=0orπなら４点は同一直線上にあり
(ii)∠αγβ=∠αδβ≠0orπのとき
円周角の定理の逆よりα、β、γ、δは同一円周上にある。
=>
同一円周上の４点を実部が大きい順にα、β、γ、δとおく
円周角の定理より
∠αγβ=∠αδβ
よって
arg({ (α-γ)/(β-γ) } / { (α-δ)/(β-δ) })
=arg((α-γ)/(β-γ))-arg( (α-δ)/(β-δ))
=∠αγβ-∠αδβ=0
なので
{ (α-γ)/(β-γ) } / { (α-δ)/(β-δ) } =mは実数になる
という感じでよさそうでしょうか？

回答No.2

178-tall

#1 さんのコメント「偏角をとって円周角の定理を用いる」のがシックリいくみたいですね。
詳細の吟味には未及ながら、アウトライン案でも。

手始めは、α,β,γ の三角形。
・その外心 T が無限遠点じゃない場合、原点を T へ平行移動しておく。
　α,β,γは、いずれも絶対値が R ( = 外接円半径) となる。

・複素値の偏角を勘定するためのツールは「余弦定理 (複素表示バージョン) 」。
　|α-β|^2 = |α|^2 + |β|^2 - (αβ~+α~β)　　// α~ はαの共役値
　= |α|^2 + |β|^2 - 2*Re(αβ~)
　= |α|^2 + |β|^2 - 2*|αβ|*cos(argα-argβ)

・外接円上にあるδを想定し、複比 (α-γ)/(β-γ) / {(α-δ)/(β-δ)} の吟味。

外心 T が無限遠点の場合は残務整理で？

お礼

回答ありがとうございます。
外心に原点を平行移動するというのはなるほどと思いました。
疑問点はすべて解消できました。
いただいたアウトラインを使って証明をもっと簡潔にできないか考えてみます。