• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

a,b,cはa^2-3b^2=c^2を満たす整数とするとき、次のことを

a,b,cはa^2-3b^2=c^2を満たす整数とするとき、次のことを証明せよ。 1、a,bの少なくとも一方は偶数である。 2、a,bが共に偶数なら、少なくとも一方は4の倍数である。 3、aが奇数ならbは4の倍数である。 という問題です。 1はa,bを奇数として、2m+1,2n+1とおいて計算したのですが、いまいちどう証明したらよいのか分かりません。 2はどちらも2m,2nとして計算したら、4(m^2-3n^2)=c^2となったのですが、これで何の証明になるのか…。 3もよく分かりません。 勉強不足で申し訳ありません。考え方だけでも教えてください。よろしくお願いします。

noname#180825
noname#180825

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • Kules
  • ベストアンサー率47% (292/619)

いいところまできていると思いますが、右辺のことを無視してしまうとちょっと議論ができませんよね。 2m+1,2n+1とおくと、左辺は2でくくれると思います。で、cが奇数の場合c^2も奇数なので明らかに不適となりますよね?ってことはcは偶数です。で、c=2kと置けば (左辺を2で割ったもの)=2k^2という形になると思いますが、 (左辺を2で割ったもの)は明らかに奇数の形をしていると思います。よって、a,bが共に奇数の場合 cは奇数にも偶数にもなれないので不適。となります。 2、も同じように考えていくと、m^2-3n^2=k^2になると思います(今回もcは偶数しか許されないため、c=2kと置きました) で、この式をよーく見ると…これは問題で与えられたa,b,cをm,n,kに置き換えただけの式ですね? ということは1、よりm,nの少なくとも一方は偶数なので、a,bの少なくとも一方は4の倍数です。 3、1よりaが奇数ならbは少なくとも偶数(2の倍数)です。で、a=2m+1、b=2nを入れるて計算すると上と同じように考えてcは奇数になると思うので、c=2k+1と置きます。でさらに計算していくと、 3n^2=(mとkの式)…(*) みたいな形になると思います。ここで、mとkはそれぞれ奇数or偶数の2通りあるのでmとkの偶奇の組み合わせは4通りありますが、そのどれを取っても(*)の右辺は偶数になるはずです。3n^2のうち3は偶数じゃないので、nが偶数であることになり、結局bは4の倍数となります。 3、はかなり遠回りをしているような気がします。もっとうまい解法があるかも知れません。 参考になれば幸いです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

ああそうか, 3 はそんなに単純じゃないんだ.... えぇと, #2 でも言われているように a が奇数なら b は偶数, c は奇数となります. で 3b^2 = a^2-c^2 とすると右辺は 8の倍数.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

結局示すのは「c が整数にならないこと」なのでそれは省略して 1: a, b を両方奇数とおく. 2: a, b ともに「4の倍数ではない偶数」とおく. 3: a が奇数なら 1 より b は偶数であることが分かる. で, b を「4の倍数でない偶数」とおく. この手の問題における「巨大なヒント」として「4 で割った余りを考えるといいかもしれない」とだけ言っておこう.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 証明

    何度も失礼します。 問題は、a,b,cはどの2つも1以外の共通な約数を持たない正の整数とする。a,b,cが、a^2+b^2=c^2を満たしているとき、次の問いに答えよ。 (cは奇数である) (1)a,bの1つは4の倍数であることを示せ。 証明は、cは奇数であるから、,bのうちいずれか一方は偶数で、他方は奇数である。いま、偶数の方をaとしてもよい。aが4の倍数でないと仮定すると、a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)とおける。 a^2+b^2=(4k+2)^2+(4m±1)^2 =8(2k^2+2k+2m^2±m)+5 c^2=(4n±1)^2=8(2n^2±n)+1 よってあまりが違い、矛盾するので正しい。 となっているのですが、{a=4k+2,b=4m±1,c=4n±1(k,m,nは整数)}ですが一つ目の疑問は(k,m,nは整数)ですが、整数では、例えばmが-3とかのとき明らかに-になるのでだめですよね?bが正の整数を大前提にということでしょうか?もうひとつは、これはb,cは奇数であることをいいたいのだからa=4k+2、b=2m-1,c=2n-1(・・・m,nは自然数)としてはいけないのでしょうか?それでもできるとおもうのですが。b=4m±1,c=4n±1である理由があるのでしょうか?

  • 整数問題の証明

    「ある整数n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数であることを証明せよ。」 という問題で、この問題の解答を一応書いておくと、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n=2k-1(kは整数)とおいて、 n(n+2)=(2k-1)(2k+1)=4k^2-1より、 n(n+2)は奇数なので8の倍数になりえず矛盾。 ゆえにnは偶数である」 ですが、私は、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、 n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、 nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。 ゆえにnは偶数である」 と解いたのですが、これは解答として成立しますか? 違うのであれば具体的にどこが違うのかもお願いします。

  • 整数の問題

    A、B、Cは自然数で、ABは偶数Bは奇数します。A^2+AB+B^2=C^2から、Aは8の倍数であることを示せ。 Aの倍数性を知りたいからAで固めて A(A+B)=C^2-B^2 とするのは、考え方として正しいですか?知りたいのはCでもある? また、模範解答は、上まで変形し、C^2が奇数なことを知ってからB=2K+1、C=2L+1として代入してますが、Cが奇数であることを知る前に、初めからそれを代入したらダメ(分かりにくい)なのですか?あとAもA=2Mなどとしてとにかく代入するのは下手ですか?質問ばかりですみません。整数の基本を教えてください。

  • 苦手な整数問題的な証明問題

    こんにちは 1浪生でございます。 この度は整数問題に関していくつか質問させていただきたく存じます。 質問1、3つの自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たしている。この時、a,b,cの少なくとも一つは3の倍数であることを証明せよ。 質問2、nは整数とする。n^3が偶数の時、nも偶数であることを証明せよ。 の2問でございます。 お時間の許す限り、宜しくお願い致します。

  • ピタゴラス数にからんだ整数問題

    以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。(京大志望です) 自然数 a,b,c について,等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち,かつ a,b は互いに素とする。このとき,次のことを証明せよ。 (1) a が奇数ならば,b は偶数であり,したがって c は奇数である。 (2) a が奇数のとき,a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。 (1)  a,bをともに奇数とすると  i,jを任意の自然数として   a=2i-1   b=2j-1 とおける。  すると、   a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2       =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2  よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。  よって   c=2k とおく。  すると、   0=a^2+b^2-c^2    =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4) となって不合理。  よってa,bがともに奇数とはなり得ない。  よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。 (2)  m,n(m<n)を自然数として   a=n^2-m^2   c=n^2+m^2 とおく。  (a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数)  以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。  上の式をn^2,m^2について解くと   n^2=(c+a)/2   m^2=(c-a)/2 となる。  よって   n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4  よって   b=2mn となる。  これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。  よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。(ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する)  またこれより題意をみたすとき   a+c=2n^2  よって題意は示された。 (2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからOKと言うような論法になってしまっている気がするのですが… どうでしょうか?

  • 条件の否定

    『次の条件の否定をいえ。(m、nは整数) (1)m、nはともに奇数。 (2)m、nの少なくとも一方は3の倍数。』 という問題がありました。 僕は、 (1)mは偶数、またはnは偶数 (2)mは3の倍数ではない、かつnは3の倍数ではない と答えたのですが、解答では (1)m、nの少なくとも一方は偶数 (2)m、nはともに3の倍数でない とありました。たぶん言ってることは同じだとは思うのですが、僕の答え方でも大丈夫でしょうか?

  • 背理法を用いた、整数問題の証明

    a,b,cは整数とし、a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数であることを証明せよ。  という問題について質問します。 a,bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき、a=3n+1,b=3m+1(n,mは整数)とおく。 a^2=3(3n^2+2n)+1 b^2=3(3m^2+2m)+1 ただし、3n^2+2n,3m^2+2mは整数。 よってa^2,b^2を3で割った余りはともに1である。 ※ a^2+b^2=3(3n^2+2n)+1+3(3m^2+2m)+1 =3(3n^2+2n+3m^2+2m)+2 3n^2+2n+3m^2+2mは整数である。 したがって、a^2+b^2を3で割った余りは2である。 一方、cが3の倍数のとき、c^2は3で割り切れ、 cが3の倍数でないとき、c^2を3で割った余りは1である。 すなわちc^2を3で割った余りは0か1である。 ※ よって、a^2+b^2=c^2において、 左辺は3で割ったときの余りが2、右辺は3で割ったときの余りが0か1 であるから矛盾する。 ゆえに、背理法よりa^2+b^2=c^2ならば、a,bのうち、少なくとも1つは3の倍数である。 このように解答したのですが、※と※の間の部分に対して数学の先生から、不十分というコメントを書かれてしまいました。 どこが不十分なのか分かる方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします!

  • 整数の問題

     整数(?)の問題です。よろしく御指導下さい。 1)3つの自然数a,b,cがa~2+b~2=c~2を満たしている。このとき、a,bの少なくとも一方は偶数であることを証明せよ。 2)自然数はa,b,c,dはc=4a+7b,d=3a+4bを満たしている。 2-1) c+3dが5の倍数ならば、2a+bも5の倍数であることを示せ。 2-2) aとbが互いに素で、cとdがどちらも素数pの倍数ならば,p=5であることを示せ。. (2-1は解決済みです。2-2の方がよく分かりません)  尚、このような整数、約数、倍数、素数、互いに素 というような問題(例題)を扱った  参考書、WEB サイト等ありましたら、ご紹介いただければありがたいです。よろしくお願いします。

  • a^2+b^2=c^2に関する証明

    質問1 a^2+b^2=c^2が成り立つならば、a,bのいずれかは4の倍数である。 自分では別のあまりで分類するものを考え、正解できましたが、解答が理解できなかったのでそれを教えてください。 a,bがともに偶数ならば与式よりcも偶数なので、両辺をa,b,cの最大公約数で割り、a,bの少なくても一方は奇数として証明すればよい。とありますが理解できません。 これを示すためのこの後の式変形は理解できましたが、なぜ上のように命題を同地変形できるのかがわかりません。 質問2 a^2+b^2=c^2の一般解を導く方法というのは大学受験レベルでは1つ理解しておけばいいでしょうか。4通りの方法が載っていましたが、1つ意外は難しくて理解すらできません。 質問3 質問1は別海として乗っていましたが、これを自分で考えるのは相等困難であると考えてよいでしょうか。

  • 整数問題

    正の整数a,b,cが 2a-3b=0・・・(1) 2a-5c=1・・・(2) を満たしている。 (1),(2)を満たすaの最小の正の値はアである。 また、(1),(2)より 2(a-イ)=ウ(b-エ)=オ(c-カ) が成り立つので、 a-イは2桁の整数キクの倍数である。 (1),(2)から 2a=3b 2a=5c+1 2aは偶数だから3bが偶数になるにはbが偶数であればよいからbの取り得る値はb=2,4,・・・・ 同様に5c+1が偶数になるにはcが奇数であればよいからcの取り得る値は c=1,3,・・・・ a,b,c,の対応表をb=6までつくったところ (1),(2)を満たすaの最小の正の値は3となりました。 これ以降が全く分からないので、どなたか教えて下さい。