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整数の問題

A、B、Cは自然数で、ABは偶数Bは奇数します。A^2+AB+B^2=C^2から、Aは8の倍数であることを示せ。 Aの倍数性を知りたいからAで固めて A(A+B)=C^2-B^2 とするのは、考え方として正しいですか?知りたいのはCでもある? また、模範解答は、上まで変形し、C^2が奇数なことを知ってからB=2K+1、C=2L+1として代入してますが、Cが奇数であることを知る前に、初めからそれを代入したらダメ(分かりにくい)なのですか?あとAもA=2Mなどとしてとにかく代入するのは下手ですか?質問ばかりですみません。整数の基本を教えてください。

noname#128428
noname#128428

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  • Tacosan
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「証明問題」というのはある意味パズル的な側面があって, 「特定の知識を持っている」とか「ひらめく」とかがポイントになる場合があります. 今の問題については「奇数の 2乗を 8 で割ると必ず 1 余る」ということがポイントで, そこに気づけば C^2-B^2 を作り出すという方針が見えるかもしれません. とはいえ最初から A(A+B) = C^2-B^2 とするのはちょっとどうかなという気もします. A^2 + AB + B^2 = C^2 と「A が偶数, B が奇数」ということから「C は必ず奇数」まで言えるので, その時点で上のように変形する方がむしろ自然かもしれません. で「B=2K+1 (ただし K は整数)」と置くことに関しては, 問題で最初に「A は偶数で B は奇数」と仮定されているのでどこで「B=2K+1 (ただし K は整数)」と置いてもかまいません. まあ「どこで置くときれいか」とかの「美意識」の問題なので, 数学に深入りするのでなければ「さほど重要ではない」と切り捨ててもいいと思います.

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質問者からのお礼

詳しくありがとうございます。とても勉強になりました。

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  • Tacosan
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もとの文章じたいの日本語がおかしいというのはあるけどそれはさておき, 「C が奇数であることを知る前」に C = 2L+1 となぜおけるのですか?

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質問者からの補足

すみません、Cが 奇数と知る前にB=2K+1とおく…です。 あと問題冒頭は、 Aが偶数、Bが奇数とする、です。

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