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整数問題?がわからないので教えてください

nが自然数であるとき、n(n^3-1)(n^3+1)は偶数で、かつ7の倍数であることを示せ。 という問題なのですが、 nを奇数とするとn=2k+1(kは自然数)とおけ、与式=4k(2k+1)(4k^2+6k+3)(4k^3+6k^2+3k+1) までやってみましたが、よくわからないので、解答をお願いします。

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  • 回答No.5

コピペした時に直し忘れた。 誤:7Nは7の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した7つの整数の積なので与式は偶数。 正:7Nは7の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した7つの整数の積なので与式は7の倍数。

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回答ありがとうございます、素人目から最も洗練された解答に見えたので、ベストアンサーにさせて頂きます。

その他の回答 (7)

  • 回答No.8
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

フェルマーの小定理は、反則ぽい気がする(主観)。 No.6 が簡単でない…という御批判については、 (7q+r)^7 - (7q+r) を展開する替わりに {(n+7)^7 - (n+7)} - {n^7 - n} を計算する… あるいは、もっと端折って {(n+1)^7 - (n+1)} - {n^7 - n} を計算する… という手があろうかと思う。

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回答ありがとうございます、参考になりました。

  • 回答No.7
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

#1 が簡単という意見に同意>#6. フェルマーの定理は反則なんだろうなぁ.

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回答ありがとうございます。

  • 回答No.6
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

分解してる人が多いなあ。 A No.1 の方法が簡単だと思うけれど… n=7q+r (q,rは整数) と置くと、 n(n^3-1)(n^3+1) = n^7-n = (7q+r)^7-(7q+r) = { (7q)^7 + 7((7q)^6)r + 21((7q)^5)r^2 + 35((7q)^4)r^3 + 35((7q)^3)r^4 + 21((7q)^2)r^5 + 7(7q)r^6 + r^7 } - (7q+r) = 7{ (7^6)q^7 + 7(7^5)(q^6)r + 21(7^4)(q^5)(r^2) + 35(7^3)(q^4)r^3 + 35(7^2)(q^3)r^4 + 21(q^2)r^5 + 7qr^6 - q } + (r^7-r). 要するに、与式 = 7・(整数) + (rを含みqは含まない式) となるから、 式の値を 7 で割った余りは、n を 7 で割った余りだけで決まる。 n = 0,1,2,3,4,5,6 の各場合について余りを求めてみて、 それが 0 であることを確認すれば終了。

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  • 回答No.4

n(n^3-1)(n^3+1) =n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) =n(n-1){(n-2)(n+3)+7}(n+1){(n+2)(n-3)+7} =(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7N (Nは整数) n(n+1)は偶数。なので与式は偶数。 7Nは7の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した7つの整数の積なので与式は偶数。 ゆえに、与式は偶数かつ7の倍数。

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  • 回答No.3

偶数であることを示すには容易。 7の倍数については、展開ではなく因数分解をして n= 7k+ mの形で場合わけすればよい。

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回答ありがとうございます、参考になりました。

  • 回答No.2

nを7を法とする剰余類に分けるとよいです.記述を簡単にするため,合同式の知識を使います.整数a,bについてa-bが7で割り切れるとき a≡b(mod 7) とかきます.a≡b(mod 7),c≡d(mod 7)のときa-b=7r,c-d=7sとかけるので a+c-(b+d)=7(r+s),a-c-(b-d)=7(r-s) ac-bd=(b+7r)(d+7s)-bd=7(bs+rd+7rs) これから次の計算法則が成り立ちます. a±c≡b±d(mod 7) (複号同順) ac≡bd(mod 7) これらの準備を元に証明します. n(n^3-1)(n^3+1) =n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) =(n-1)n(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1) (☆)まず連続する2整数の積(n-1)nまたはn(n+1)が因子に含まれるのでnは偶数. 次にnを7で割ったときの商をq,余りをrとするとq,rは整数で, n=7q+r (0≦r<7) r=0,1,6のときそれぞれn,n-1,n+1が7の倍数. r=2,4のとき n^2+n+1≡4+2+1=7=0 (mod 7) n^2+n+1≡16+4+1=21=0 (mod 7) r=3,5のとき n^2-n+1≡9-3+1=7=0 (mod 7) n^2-n+1≡25-5+1=21=0(mod 7) (★)以上よりnは7の倍数. 偶数と7(奇数)は互いに素なので☆と★により7は偶数かつ7の倍数である.

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詳しい回答、ありがとうございました。

  • 回答No.1

展開すると n(n^3-1)(n^3+1) =n(n^6-1) =n^7-n nが奇数の時 奇数-奇数=偶数 nが偶数のとき 偶数-偶数=偶数 なのでn(n^3-1)(n^3+1)は偶数になる かな?と思ったのですが7の倍数にはならないので違うかもしれません。

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