整数問題？がわからないので教えてください

質問

nが自然数であるとき、n(n^3-1)(n^3+1)は偶数で、かつ7の倍数であることを示せ。

という問題なのですが、

nを奇数とするとn=2k+1(kは自然数)とおけ、与式=4k(2k+1)(4k^2+6k+3)(4k^3+6k^2+3k+1)
までやってみましたが、よくわからないので、解答をお願いします。

回答No.5

chie65535 · ベストアンサー

コピペした時に直し忘れた。

誤：7Nは７の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した７つの整数の積なので与式は偶数。

正：7Nは７の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した７つの整数の積なので与式は７の倍数。

お礼

回答ありがとうございます、素人目から最も洗練された解答に見えたので、ベストアンサーにさせて頂きます。

回答No.8

alice_44

フェルマーの小定理は、反則ぽい気がする(主観)。
No.6 が簡単でない…という御批判については、

(7q+r)^7 - (7q+r) を展開する替わりに
{(n+7)^7 - (n+7)} - {n^7 - n} を計算する…

あるいは、もっと端折って
{(n+1)^7 - (n+1)} - {n^7 - n} を計算する…

という手があろうかと思う。

お礼

回答ありがとうございます、参考になりました。

回答No.7

Tacosan

#1 が簡単という意見に同意＞#6.

フェルマーの定理は反則なんだろうなぁ.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

alice_44

分解してる人が多いなあ。
A No.1 の方法が簡単だと思うけれど…

n=7q+r (q,rは整数) と置くと、

n(n^3-1)(n^3+1) = n^7-n
= (7q+r)^7-(7q+r)
= { (7q)^7 + 7((7q)^6)r + 21((7q)^5)r^2 + 35((7q)^4)r^3 + 35((7q)^3)r^4 + 21((7q)^2)r^5 + 7(7q)r^6 + r^7 } - (7q+r)
= 7{ (7^6)q^7 + 7(7^5)(q^6)r + 21(7^4)(q^5)(r^2) + 35(7^3)(q^4)r^3 + 35(7^2)(q^3)r^4 + 21(q^2)r^5 + 7qr^6 - q } + (r^7-r).

要するに、与式 = 7・(整数) + (rを含みqは含まない式) となるから、
式の値を 7 で割った余りは、n を 7 で割った余りだけで決まる。
n = 0,1,2,3,4,5,6 の各場合について余りを求めてみて、
それが 0 であることを確認すれば終了。

お礼

回答ありがとうございます、参考になりました。

回答No.4

chie65535

n(n^3-1)(n^3+1)
=n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)
=n(n-1){(n-2)(n+3)+7}(n+1){(n+2)(n-3)+7}
=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)+7N (Nは整数)

n(n+1)は偶数。なので与式は偶数。

7Nは７の倍数。(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)は、連続した７つの整数の積なので与式は偶数。

ゆえに、与式は偶数かつ７の倍数。

回答No.3

naniwacchi

偶数であることを示すには容易。
7の倍数については、展開ではなく因数分解をして n= 7k+ mの形で場合わけすればよい。

お礼

回答ありがとうございます、参考になりました。

回答No.2

ereserve67

nを7を法とする剰余類に分けるとよいです．記述を簡単にするため，合同式の知識を使います．整数a,bについてa-bが7で割り切れるとき

a≡b(mod 7)

とかきます．a≡b(mod 7),c≡d(mod 7)のときa-b=7r,c-d=7sとかけるので

a+c-(b+d)=7(r+s),a-c-(b-d)=7(r-s)
ac-bd=(b+7r)(d+7s)-bd=7(bs+rd+7rs)

これから次の計算法則が成り立ちます．

a±c≡b±d(mod 7)　(複号同順)
ac≡bd(mod 7)

これらの準備を元に証明します．

n(n^3-1)(n^3+1)
=n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)

(☆)まず連続する2整数の積(n-1)nまたはn(n+1)が因子に含まれるのでnは偶数．

次にnを7で割ったときの商をq，余りをrとするとq,rは整数で，

n=7q+r (0≦r<7)

r=0,1,6のときそれぞれn,n-1,n+1が7の倍数．

r=2,4のとき
n^2+n+1≡4+2+1=7=0 (mod 7)
n^2+n+1≡16+4+1=21=0 (mod 7)

r=3,5のとき
n^2-n+1≡9-3+1=7=0 (mod 7)
n^2-n+1≡25-5+1=21=0(mod 7)

(★)以上よりnは7の倍数．

偶数と7(奇数)は互いに素なので☆と★により7は偶数かつ7の倍数である．

お礼

詳しい回答、ありがとうございました。

回答No.1

mizukiyuli

展開すると

n(n^3-1)(n^3+1)
=n(n^6-1)
=n^7-n

nが奇数の時　奇数-奇数＝偶数
nが偶数のとき　偶数-偶数＝偶数
なのでn(n^3-1)(n^3+1)は偶数になる

かな？と思ったのですが7の倍数にはならないので違うかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます、参考になりました。