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整数問題の証明

「ある整数n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数であることを証明せよ。」 という問題で、この問題の解答を一応書いておくと、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n=2k-1(kは整数)とおいて、 n(n+2)=(2k-1)(2k+1)=4k^2-1より、 n(n+2)は奇数なので8の倍数になりえず矛盾。 ゆえにnは偶数である」 ですが、私は、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、 n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、 nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。 ゆえにnは偶数である」 と解いたのですが、これは解答として成立しますか? 違うのであれば具体的にどこが違うのかもお願いします。

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  • 回答No.5
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

ですが、私は、 1行目:「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 2行目:n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、 3行目:n^2=2(4k-n)となり、[n^2は偶数だから]、<--これ書くとおかしい 4行目:nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。<--3行目からいきなり4行目を結論づける事は出来ない 5行目:ゆえにnは偶数である」 3行目(修正) n^2=2(4k-n)で、nは奇数であるから左辺=(奇数)^2=奇数 右辺=偶数となり矛盾 よってnは偶数でなければならない。 のほうが良い。

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質問者からのお礼

>n^2=2(4k-n)で、nは奇数であるから左辺=(奇数)^2=奇数 >右辺=偶数となり矛盾 やはり、左辺は奇数で右辺は偶数であることを 説明しておかねばならないのですね。。。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>背理法を使って証明しろという指示付きの問題です。 そんな事は、最初に書いとけよ。。。。。笑 私なら、以下の方法をとる。 nは奇数であると仮定する。 n(n+2)が8の倍数ならば、n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、n^2+2n=8kより、n^2+2n+1=(n+1)^2=8k+1となる。 ところが、nが奇数ならば (n+1)^2は偶数で、8k+1は奇数となり矛盾。この矛盾は、nは奇数であると仮定した事による。 よつて、nは偶数である。

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  • 回答No.3
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

>nは奇数であると仮定すると そんな仮定は必要ないということだ。nは偶数である、事が直接証明できるから。 nが偶数ならばn^2も偶数、又、n^2が偶数ならばnも偶数、これは証明の必要はないだろう。

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質問者からのお礼

すみません、背理法を使って証明しろという指示付きの問題です。

  • 回答No.1
  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)

駄目だね。 >n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。 “n^2は偶数だから”。。。なんで? そこは、n^2=2(4k-n)であるから、右辺は2の倍数だから偶数、従って左辺のnも偶数、としなければならない。 でも、ひょっとすると、そういう意味で書いてるのかな? 誤解されやすい文章だ。

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質問者からのお礼

>n^2=2(4k-n)であるから、右辺は2の倍数だから偶数、従って左辺のnも偶数、としなければならない、 そういう意図です。

  • 回答No.2
  • sotom
  • ベストアンサー率15% (698/4470)

質問者様の場合だと、「nが奇数ならばn^2も奇数」をも証明しなくては ならないのではないだろうか? 

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