整数問題です

質問

nが自然数のとき、5^6n + 5^4n + 5^2n + 1を13で割った余りを求めよ

という問題で、

解）(mod13)とする
　　5^2＝25≡-1より
　　(与式)≡(5^2)^3n + (5^2)^2n + (5^2)^n + 1
　　　　　≡(-1)^3n + (-1)^2n + (-1)^n +1
　　　　　≡2(-1)^n +2
　　　　　≡4　(n:偶数)，
　　　　　　0　(n:奇数)

というものなのですが、
４行目まではわかるのですが、
５行目の
『　≡2(-1)^n +2』
になる理由がわかりません＞＜
わかる方、ぜひおしえてください。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

≡(-1)^3n + (-1)^2n + (-1)^n +1
　　　　　≡2(-1)^n +2
がなり立つ理由ですね
指数法則で計算した結果です

(-1)^3n =((-1)^3)^n=(-1)^n
(-1)^2n=((-1)^2)^n=1^n=1
ですから
≡(-1)^3n + (-1)^2n + (-1)^n +1
＝(-1)^n+1+ (-1)^n +1
となります

お礼

回答ありがとうございました！

とても
わかりやすかったです★
理解できてよかったですー！
ありがとうございました♪

回答No.2

mister_moonlight

人それぞれとは思うが、mod13を使うにしても、与式＝(5＾n＋1)(5＾2n＋1)と変形したほうが、分かりやすいように思う。

お礼

回答ありがとうございました！