簡単な不定方程式の問題ですが

質問

例によって、近所の高校生からの質問が発端です。
先ず、問題です。

α、βを自然数とするとき　3α＋2β＝nを満たす解(α、β)の組が　10個の時、nの値を求めよ。

私の解は、“その概略ですが”αの係数が2でβの係数が3から　nを偶数と奇数に分けて、各々の場合の不定方程式を解けば　求めるnの値は6個である事がわかります。

しかし、高校生には、最初から“nを偶数と奇数に分ける“という事が着想できないようです。
もちろん　それはある定理を知っていれば(知らなくても、経験的に)着想できる事ではあるんですが、高校生には　途中で、“nを偶数と奇数に分ける”という場面が出てくるなら分かるようです。

そこで質問ですが、“最初から　nを偶数と奇数に分ける”という解法以外に　なにかいい方法がないでしょうか？　必然性から、途中で　nを偶数と奇数に分ける　という方法でも結構です。
検討をお願いいたします。

回答No.1

pinball_1973 · ベストアンサー

nを奇数・偶数に分けるという方法ではなく、３α＋２β＝ｎをβ＝３/２α＋ｎ/２と変形してα-β平面で直線を描いて解く方法はいかがでしょうか？

ｎをパラメータとして直線を上下に動かして、直線上に格子点（αとβがともに整数である点）が10個乗るようなｎの値を見つけられればそれが答えです。

こちらですと、問題も視覚的に捉えられるのではないかと思います。

やはり、この問題を見て奇数偶数で場合わけするという発想を得るにはたくさんそういう問題に触れて慣れるしかないのではないかと思います。

お礼

高校生を対象とした質問でしたが、貴方の思考がorthodoxだと思います。
高校生には、最もふさわしいと思います。有難うございました。<m(__)m>

補足

回答有難うございます。
実は、その方法もやってるんですが、ｎが小さな数字になるならそれでもいいんです。
解は“60前後”の数字になります。原理はその通りなのですが、そんな数字になるのに実際には難しいと思います。

＞やはり、この問題を見て奇数偶数で場合わけするという発想を得るにはたくさんそういう問題に触れて慣れるしかないのではないかと思います。

そうですね、私も同じ意見です。
特に、整数問題と不等式の証明問題は、“慣れ　と　感”が必要のように思います。

回答No.4

hrsmmhr

鶴亀算なのかと思いましたが…

αを二つ減らしてβを三つ増やせば元通りのnに戻るので
あとは自然数の範囲にいくつ入るかだと思います
初期値は3と2が互いに素なのでなんでもいけると思います
60から65なのかと思います

補足

＞鶴亀算なのかと思いましたが…

それは、ちょつと言いすぎですよ。
有る大学の過去問だそうです、その大学が可哀想。。。。。ｗ

＞60から65なのかと思います

違います。

回答No.3

Tacosan

多分本質的に #2 と同じ:

とりあえず「自然数」という条件を脇において考えれば, 任意の n に対し
(α, β) = (α0, β0) が解なら (α0-2, β0+3) も解
であることが分かります. んで, n を固定して考えると「自然数」という条件から β の最小値は 1, 2, 3 の 3通り. で「解の組が 10個」という条件からそれぞれに対応して β の最大値が 28, 29, 30 であり, このとき α は 1 か 2 でないとおかしい.

あとは単純に計算するだけで「求めるnの値は6個」がさっくり出てくる.

回答No.2

178-tall

[A] 右辺 = 1 の場合
　　3α + 2β = 1
　　まともに互除法での求解。
　　　3 = 2 + 1 だから、α + 2(β+α) = α + 2β' = 1
　　α= 1, β'= β+α = 0 つまりβ= -1 が一特解。
　　一般解：α= 1 - 2k, β= -1 + 3k

[B] 右辺 = n の場合
　[A] の n 倍をとれば、
　　一般解：α= n - 2k, β= -n + 3k
　になる。

…と考えてみる。
あとは、{α,β} が自然数のペアになるよう n を探す問題ですね。

補足

回答有難うございます。

＞β= -1 が一特解。

βは自然数、という条件です。