3次方程式について

質問

a,b,c,に関して
a＋b＋c=(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=(a＾3)＋(b＾3)＋(c＾3)=n
が成り立つとき。(a＾4)＋(b＾4)＋(c＾4)=nが成り立つとき、nの値を求める。

問題で、ab + bc + ca = n(n-1)/2　　
から３次方程式の解と係数の関係を用いて。

a + b + c = n。更にab + bc + ca = u, abc = vと置いておきます。
解と係数の関係より、a, b, cはtの３次方程式t3-nt2+ut-v=0

t3-nt2+ut-v=0
の式になる方法がわかりません。
お願いします

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

ご質問の意味がいまいちよく分からないですが、仮に
a + b + c = n、ab + bc + ca = u, abc = vと置いた場合、a, b, cはtの3次方程式t3-nt2+ut-v=0の解であるということが分からないということだとすると。。。
一般に3次方程式Ax^3+Bx^2+Cx+d=0(A≠0)の3つの解ををα、β、γとすると解と係数の間には次の関係があります。
　α＋β＋γ＝-B/A
　αβ＋βγ＋γα＝C/A
　αβγ＝-D/A
いま、
　a + b + c = n
　ab + bc + ca = u
　abc = v
とすると上の解と係数の関係との比較よりa,b,cは3次方程式　
　At^3＋Bt^2＋Ct＋D=0　　(1)
の解であると言えます。解と係数の関係から
　-B/A=n, C/A=u, -D/A=v → B=-nA, C=uA, D=-vA
これを(1)に代入すると
　A(t^3-nt^2+ut-v)=0 →　t^3-nt^2+ut-v=0
となります。
　B=-nA

回答No.2

kony0

はじめに、ご質問に対する回答は、#1さんのおっしゃるとおり「解と係数の関係」を利用すればよいです。
「解と係数の関係」は教科書にも出てくる有名な公式なので、調べて見てください。（前置きは以上）

対称式の問題ですね。
3文字の対称式は
a+b+c, ab+bc+ca, abc
の3種類の式の組み合わせで表現できます。

なお、この問題を解くのに「解と係数の関係」は必ずしも必要なさそうです。
（文字4つ、式4つの方程式を解けばよいだけ）

ただし、対称式の概念を利用した式変形は、この問題でも有効です。

たとえば a^3 + b^3 + c^3 = n(n^2-3u)+3v