文字式

質問

a,b,c,に関して
a＋b＋c=(a＾2)＋(b＾2)＋(c＾2)=(a＾3)＋(b＾3)＋(c＾3)=n
が成り立つとき、次の問いに答えるには
ア。ab＋bc＋caをnの式で表す
イ。abcをnの式で表す
ウ。(a＾4)＋(b＾4)＋(c＾4)=nが成り立つとき、nの値を求める。

でウがわかりません。

abc=n3/6-n2/2+n/3
ab+bc+ca=(1/2)n2-(1/2)n
a+b+c=n

ですが。
おしえてください。

回答No.2

springside · ベストアンサー

ウです。

(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2^c^2+c^2a^2)・・・(1)
である。

ここで、

(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab^2c+abc^2+a^2bc)
=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)

なので、

a^2b^2+b^2^c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)

となり、これを(1)に代入すると、

(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2{(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)}
=a^4+b^4+c^4+2(ab+bc+ca)^2-4abc(a+b+c)・・・(2)

となる。

(2)に、
a^2+b^2+c^2=n
a^4+b^4+c^4=n
ab+bc+ca=(1/2)n^2-(1/2)n
abc=(1/6)n^3-(1/2)n^2+(1/3)n
a+b+c=n
を代入すると、

n^2=n+2{(1/2)n^2-(1/2)n}^2-4{(1/6)n^3-(1/2)n^2+(1/3)n}n

となり、これを整理すると、

n^4-6n^3+11n^2-6n=0

となる。

n^4-6n^3+11n^2-6n=n(n^3-6n^2+11n-6)
=n(n-1)(n^2-5n+6)
=n(n-1)(n-2)(n-3)
=0

なので、n=0,1,2,3・・・（答）

注：考えてみると、
・n=0というのは、a=b=c=0のとき
・n=1というのは、a,b,cのうち、1つが1、２つが0のとき
・n=2というのは、a,b,cのうち、２つが1、１つが0のとき
・n=3というのは、a=b=c=1のとき
ですね。

回答No.1

noname#6715

(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
=(a^2+b^2+c^2)^2-2{(ab+bc+ca)^2-2(ab^2c+abc^2+a^2bc)}
=(a^2+b^2+c^2)^2-2{(ab+bc+ca)^2-2(a+b+c)abc)}・・・A

(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)をAに代入する
という感じかな？

最後まで計算してないけど