数学ＩＡ範囲の入試問題の解き方を教えてください。

質問

入試の過去問なのですが、
解き方がわからずに困っています。

もし教えてやってもいいよという方がいらしたら、
考え方の流れを教えていただけるととても助かります。
よろしくお願いいたします。

(問)

三角形ＡＢＣ において，面積は10√2 ，
θ＝∠ＢＡＣ としてcosθ＝-1/3であり，
三角形ＡＢＣ の外接円Ｋ の半径は27√2/8である。
このとき，
sinθ＝〈ア〉 ， ＢＣ＝〈イ〉，ＡＢ・ＡＣ＝〈ウ〉， ＡＢ^2＋ＡＣ^2＝〈エ〉であり，
ＡＢ＞ＡＣ とするとき，ＡＣ＝〈オ〉である。
次に，外接円Ｋ の円周上に点Ｄ をとり三角形ＢＣＤ の面積について考える。
このとき，面積の最大値は〈カ〉である。

答え　〈ア〉2√2/3　　〈イ〉9　　〈ウ〉30　〈エ〉61　〈オ〉5　〈カ〉81√2/4

回答No.3

gohtraw

＃２です。補足、というかよく判らない文章だったので。
（カ）のところ、
前記の垂線とＢＣの交点をＥ、外接円の中心をＯとするとＯＥはＯＥ＾２＝ＯＢ＾２－ＥＢ＾２　から求めることができ、ＤＥはＤＥ＝ＤＯ＋ＯＥから求めることができます。

回答No.2

gohtraw

（ア）　ｃｏｓ＾２Θ＝１／９　なので　ｓｉｎ＾２Θ＝８／９であり、三角形の内角なのでΘ＜πですからｓｉｎΘ＝２√２／３　です。
（イ）　正弦定理より　ＢＣ／ｓｉｎΘ＝２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）　です。（ア）の結果および与えられた数値を代入すればＢＣが判ります。
（ウ）△ＡＢＣの面積は（ＡＢ＊ＡＣ＊ｓｉｎΘ）／２＝１０√２　なので、（ア）の結果を代入すればＡＢ＊ＡＣが判ります。
（エ）余弦定理より　ＢＣ＾２＝ＡＢ＾２＋ＡＣ＾２－２ＡＢ＊ＡＣ＊ｃｏｓΘ　なので（ア）～（ウ）の結果を代入すればＡＢ＾２＋ＡＣ＾２が判ります。
（オ）　（ウ）と（エ）の結果から（ＡＢ＋ＡＣ）＾２＝１２１　であり、ＡＢ＋ＡＣ＝１１です。ＡＢ＊ＡＣ＝３０なのでＡＢとＡＣはｘ＾２－１１ｘ＋３０＝（ｘ－５）（ｘ－６）＝０の解です。
（カ）ＤからＢＣに下ろした垂線が外接円の中心を通る時△ＢＣＤの面積が最大になります。前記の垂線とＢＣの交点をＥ、外接円の中心をＯとするとＯＥ＾２＝ＯＢ＾２－ＥＢ＾２　から求めることができ、ＤＥ＝ＤＯ＋ＯＥで求めることができます。

お礼

お返事が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。

丁寧なご回答をどうもありがとうございました。

志望校が、赤本などが出ているような学校ではなく、
過去問と答えしかわからない状態で困っていたので
回答の流れがよくわかるように教えて頂いて、すごく助かりました。

特に、<オ>のＡＢ＋ＡＣの求め方で、
和と積になっているから二次方程式の解として答えを求められる事など
全く思いつきませんでした。

ただ、申し訳ないのですが、<カ>に関しましては、
私の計算力では何度やっても正答にたどりつけませんでした…。
せっかく教えて頂いたのに申し訳ありません。
入試本番までまだ少し余裕があるので、
もうちょっと累乗の計算の仕方を工夫してみようと思います。

回答No.1

tomokoich

sin^2θ=1-cos^2θ
=1-(-1/3)^2=8/9
sinθ=√(8/9)=2√2/3

正弦定理を使って
BC/sinθ=2R
BC=2Rsinθ=2×(27√2/8)×(2√2/3)=9

△ABCの面積=(1/2)×(AB・AC)×sinθ
=(1/2)×(AB・AC)×(2√2/3)
=√2/3AB・AC=10√2
AB・AC=10√2×(3/√2)=30

余弦定理を使って
AB^2+AC^2=BC^2+2AB・AC×cosθ
=9^2+2×30×(-1/3)
=81-20=61

(AB+AC)^2-2AB・AC=AB^2+AC^2
(AB+AC)^2=61+2×30=121
AB+AC=√121=11
となるので
あとAB＞AC
で求めてみてくださいとりあえずここまで

お礼

お返事が遅くなってしまい、大変申し訳ありません。
わかりやすく教えてくださり、ありがとうございました。

プリントアウトしたものを参考にしながら
問題を解き直したところ、正解にたどりつく事が出来ました。

特に、<オ>の解き方がわからずに
あてずっぽうで数字を入れて苦労しながら解いていたのですが、
頂いた回答を見て、やっと式変形の仕方がわかりました。
こんなに簡潔に解ける問題だったんですね。
色々と遠回りをしていたことに気付きました。

これなら類題が出ても時間内に解けそうです。
どうもありがとうございました。