内心の位置ベクトル

質問

△ABCにおいて、AB=2、BC=4、CA=3とします。
ベクトルb、cをb=AB,c=ACによって定めます。

（１）ベクトルbとcの内積は？

（２）以下△ABCの内申をDとします。
内申Dが∠Aの二等分線上にあることから、
ベクトルADは(1/2)b+[ア]cの実数倍になります。
このことを用いると
AD=[イ]b+[ウ]c(ベクトル)であることが分かります。

（３）内心Dから辺ABにおろした垂線の足をHとします。
このときAH=[エ]bであることが分かります。

（４）△ABCの内接円の半径は[オ]となります。

(1)で手が止まっている状態です…。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.9

178-tall

The end.

>（４）△ABCの内接円の半径は[オ]となります。

内接円の半径は |DH| のはず。

　DH = AD - AH
(2) から引用。
　AD = (1/3)*b + (2/9)*c
(3) から引用。
　AH = (1/4)*b
また、(1) から、
　(b・c) = -3/2

すべてを放り込むと、
　DH = AD - AH = (1/12)*b + (2/9)*c
　|DH|^2 = (1/12)*b + (2/9)*c ・ (1/12)*b + (2/9)*c
　= (1/12)^2*|b|^2 + (1/27)*(b・c) + (2/9)^2*|c|^2
　= (1/6)^2 - 1/18 + (2/3)^2
　= 15/36

　|DH| = (1/6)*√(15)

結局、(1) 以外はダブダブのダブリでした。
蒙御免。

お礼

すっきりとした解答が印象的です^^

ありがとうございました*

回答No.8

178-tall

The 3rd one.

>（３）内心Dから辺ABにおろした垂線の足をHとします。 このときAH=[エ]bであることが分かります。

AD と b の内積 (AD・b) = |AD||b|*cos(∠DAH) からひねり出す。
|AH| = |AD|*cos(∠DAH) でしょうから、AH = |AH|*(b/|b|) = {(AD・b)/|b|^2}*b とヤヤッコシい。

(2) から、AD = (1/3)*b + (2/9)*c を、そしてやっと (1) の -3/2 = (b・c) も陽の目を。
　(AD・b) = ((1/3)*b + (2/9)*c・b)
　= (1/3)*(b・b) + (2/9)*(c・b) = (1/3)*4 - (2/9)*(3/2) = 1

　AH = {(AD・b)/|b|^2}*b = (1/4)*b

回答No.7

178-tall

Next one.

>（２）以下△ABCの内申をDとします。内申Dが∠Aの二等分線上にあることから、ベクトルADは(1/2)b+[ア]cの実数倍になります。このことを用いると AD=[イ]b+[ウ]c(ベクトル)であることが分かります。

∠Aの二等分線。
　AD = s*{(1/2)*b + (1/3)*c }　　…(*)
これは、
　AD = s'*{ b + (2/3)*c }
などでも良いのは明らか。(s' = s/2 になるだけのハナシ)

∠Bの二等分線。
　BD = t*{-2b + (c-b)} + b = t*(-3*b + c) + b

両二等分線の交点 D は？
　s*{(1/2)*b + (1/3)*c} = t*{-3*b + c)} + b
　{1 - (1/2)*s - 3*t}*b + {(-1/3)*s + t}*c = 0
b, c は互いに独立らしいから、
　(1/2)*s + 3*t = 1
　(-1/3)*s + t = 0
として、s = 2/3, t = 4/9 を得る。
これを (*) へ入れて、
　AD = (1/3)*b + (2/9)*c

回答No.6

178-tall

One by one.

>（１）ベクトルbとcの内積は？

直接求めるなら？

　9 = (a・a) = (b+c-b)・(b+c-b) = (b・b) + 2*(b・c-b) + (c-b・c-b) = 4 + 2*(b・c-b) + 16
　-11 = 2*(b・c-b) = 2*(b・c) + 2*(b・b) = 2*(b・c) + 8
　-3 = 2*(b・c)
　-3/2 = (b・c)

回答No.5

ereserve67

（１）余弦定理より

cosA=(3^2+2^2-4^2)/(2・3・2)=-1/4

∴vec(b)・vec(c)=2・3cosA=-3/2（答）

（２）

ADは辺BCをAB:AC=2:3に内分するので

vec(AE)=(3vec(b)+2vec(c))/(2+3)=(6/5){(1/2)vec(b)+(1/3)vec(c)}

であり、

vec(AD)=tvec(AE)=(6t/5){(1/2)vec(b)+(1/3)vec(c)}

とおける。

[ア]1/3

BDは角Bの二等分線でもあるから、△BAEにおいて

AD:DE=BA:BE=AB:(AB/{AB+AC})BC=2:(2/5)4=1:4/5=5:4

一方、AD:DE=t:(1-t)だから

t:(1-t)=5:4∴t=5/9

よって、

vec(AD)=(2/3){(1/2)vec(b)+(1/3)vec(c)}=(1/3)vec(b)+(2/9)vec(c)

[イ]1/3
[ウ]2/9

※A(vec(a)),B(vec(b)),C(vec(c))を頂点とする△ABCの内心D(vec(d))の位置ベクトルvec(d)はvec(a),vec(b),vec(c)を用いて

vec(d)=(BCvec(a)+CAvec(b)+ABvec(c))/(BC+CA+AB)（知ってて損はないと思います）

となることが知られている。この公式を使うと、今の場合vec(a)=vec(0),BC=4,CA=3,AB=2だから、

vec(AD)=vec(d)

=(3vec(b)+2vec(c))/9

=(1/3)vec(b)+(2/9)vec(c)

（３）vec(AH)=kvec(b)とおく。

vec(DH)=vec(AD)-vec(AH)

=(1/3-k)vec(b)+(2/9)vec(c)

これとvec(AB)=vec(b)の内積をとると、vec(b)・vec(b)=4,vec(b)・vec(c)=-3/2であるから、

vec(AB)⊥vec(DH)

⇔0=vec(AB)・vec(DH)

=(1/3-k)4+(2/9)(-3/2)

=4/3-4k-1/3=1-4k

∴k=1/4

よって

vec(AH)=(1/4)vec(b)

[エ]1/4

vec(DH)=vec(AD)-vec(AH)

=(1/12)vec(b)+(2/9)vec(c)

=(1/144)|vec(b)|^2+(1/27)vec(b)・vec(c)+(4/81)|vec(c)|^2

=(1/144)4+(1/27)(-3/2)+(4/81)9=1/36-1/18+4/9=(1-2+16)/36=15/6^2

∴DH=√(15)/6（オ）

回答No.4

suko22

＃１です。すみません。しょっぱなから計算ミスしてました。訂正版です。

ベクトル記号省略します。
(1)ｂ・ｃ＝｜ｂ｜｜ｃ｜cosＡ＝2*3cosＡ

　cosAは余弦定理で求めます。
　4＾2＝2＾2+3＾2-2*2*3cosAより、cosA=1/4←ココ！-1/4の間違いです。

　よって、ｂ・ｃ＝6*（1/4）＝3/2←ここ！1/4→-1/4なので、計算結果は-3/2です。

(2)直線ＡＤと線分ＢＣとの交点をＥとします。
　角の二等分線の公式からＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＥＣ＝2：3
　内分の公式より、ＡＥ＝3/5ＡＢ+2/5ＡＣ
　点Ａ，Ｄ，Ｅは一直線上にあるから、実数ｋを用いてＡＤ＝ｋＡＥとあらわせる。
　∠Ｂの二等分線と線分ＡＣとの交点をＦとすると、角の二等分の公式より、
　ＢＡ：ＢＣ＝ＡＦ：ＦＣ＝2：4＝1：2
　よって、ＡＦ＝1/3ＡＣ

　ところで、ＡＤ＝ｋ（3/5ＡＢ+2/5ＡＣ）＝3ｋ/5ＡＢ+2ｋ/5ＡＣ＝3ｋ/5ＡＢ+（2ｋ/5）*3*1/3ＡＣ　　　　　　　　　＝3ｋ/5ＡＢ+6ｋ/5ＡＦ
　点Ｄは線分ＢＦ上の点だから、3ｋ/5+6ｋ/5＝1が成り立つ。
　これを解くと、ｋ＝5/9

　よって、ＡＤ＝3/5*5/9ＡＢ+2/5*5/9ＡＣ＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣ

-----------
追加）
あと、
＞ベクトルADは(1/2)b+[ア]cの実数倍になります。
ここですね。無視してしまいましたけど、ここは最初にアを埋めることを考えるより、先にＡＤを出してから逆に考えるほうがいいと思って、飛ばしましたが、そのまま回答では飛ばしたままになってしまいました。

それで、どうするかというと、
ＡＤ＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣと求まりましたので、

実数ｓを用いて、
ｓ（1/2ＡＢ+アＡＣ）＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣとなります。
ＡＢとＡＣは一次独立なので、ｓ/2＝1/3、アｓ＝2/9より、ｓ＝2/3、ア＝（2/9）/（2/3）＝1/3
-------------------

(3)実数ｔを用いてＡＨ＝ｔＡＢ
　ＤＨ＝ＡＤ－ＡＨ＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣ-ｔＡＢ＝（1/3-ｔ）ＡＢ+2/9ＡＣ
　ＡＨ⊥ＤＨより、ＡＨ・ＤＨ＝0
　ＡＨ・ＤＨ＝ｔＡＢ・｛（1/3-ｔ）ＡＢ+2/9ＡＣ｝＝（ｔ/3-ｔ＾2）*2＾2+2ｔ/9*（3/2）←ココ！（3/2）ではなく（-3/2）です。
↓ここから
　　　　　　＝4ｔ/3-4ｔ＾2+ｔ/3＝0
　4ｔ-12ｔ＾2+ｔ＝0
　12ｔ＾2-5ｔ＝0
　ｔ（12ｔ-5）＝0
　ｔ＞0より、ｔ＝5/12
　∴ＡＨ＝5/12ＡＢ
↑ここまでも全部訂正してください。訂正した値で計算すると、ｔ＝1/4となりＡＨ＝1/4ＡＢです。

(4)内接円の半径は｜ＤＨ｜の大きさに等しい。
　｜ＤＨ｜＾2＝（-1/12ＡＢ+2/9ＡＣ）・（-1/12ＡＢ+2/9ＡＣ）＝11/36　←ココ！t=1/4と訂正すると、ＡＢの前の係数が1/12になります。これで計算すると｜ＤＨ｜＾2＝15/36となり、下記の答えになります。
　∴｜ＤＨ｜＝√15/6

ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃにそれぞれ置き換えてください。

最初の計算でミスすると受験ではとんでもないことになることがありますのでご注意を。（←自戒の念を込めつつ、あなたにアドバイスします<(_ _)>）

お礼

小さいな間違いが命取りですね…
戒めも含めてありがとうございます^^*

回答No.3

yyssaa

＞ベクトルを↑、内積を↑・↑で表します。
（１）ベクトルbとcの内積は？
＞↑b・↑c=|↑b|*|↑c|cos∠A
余弦定理から
4^2=2^2+3^2-2*2*3cos∠A、cos∠A=-1/4
よって、↑b・↑c=2*3*(-1/4)=-3/2・・・答え
（２）以下△ABCの内申をDとします。
内申Dが∠Aの二等分線上にあることから、
ベクトルADは(1/2)b+[ア]cの実数倍になります。
このことを用いると
AD=[イ]b+[ウ]c(ベクトル)であることが分かります。
＞ABの中点(Eとする)を通りACに平行な直線と、AとDを
通る直線との交点をFとすると、∠EAF=∠EFAから△AEF
は二等辺三角形となり、AE=EF。↑AF=↑AE+↑EF、
↑AE=(1/2)↑bだから、その大きさは(1/2)*AB=1
↑EFは↑ACと平行で大きさが1だから、↑EF=(1/3)↑c
よって、↑AF=↑AE+↑EF=(1/2)↑b+(1/3)↑c
↑ADと↑AFは大きさだけが違うので、↑ADは↑AFの実数倍、
すなわち↑ADは(1/2)↑b+(1/3)↑cの実数倍になり、
よって、[ア]=1/3・・・答え
同様に、Dは∠Bの二等分線上にあることから
↑BDは(-1/2)↑b+(1/4)↑BCの実数倍になります。
ここで↑BD=↑AD-↑b、↑BC=↑c-↑bなので、
(↑AD-↑b)は(-1/2)↑b+(1/4)(↑c-↑b)
=(-3/4)↑b+(1/4)↑cの実数倍になり、sを実定数として
↑AD-↑b=s{(-3/4)↑b+(1/4)↑c}、すなわち
↑AD=(1-3s/4)↑b+(s/4)↑cとなります。
上で求めた↑ADは(1/2)↑b+(1/3)↑cの実数倍は、tを実定数
として↑AD=(t/2)↑b+(t/3)↑c。両式の↑bと↑cの
係数を比較すると、1-3s/4=t/2、s/4=t/3が得られ、これを
連立で解いて、s=8/9、t=2/3。よって
↑AD=(1/3)↑b+(2/9)↑cから[イ]=1/3、[ウ]=2/9・・・答え
（３）内心Dから辺ABにおろした垂線の足をHとします。
このときAH=[エ]bであることが分かります。
＞|↑AD|^2=↑AD・↑AD
={(1/3)↑b+(2/9)↑c}・{(1/3)↑b+(2/9)↑c}
=(1/3)^2(↑b・↑b)+(1/3)*(2/9)↑b・↑c
+(2/9)*(1/3)↑c・↑b+(2/9)^2↑c・↑c
=(1/9)(↑b・↑b)+(2/27)↑b・↑c +(2/27)↑c・↑b
+(4/81)↑c・↑c
ここで↑b・↑b=|↑b|^2=4、↑c・↑c=|↑c|^2=9
↑b・↑c =↑c・↑b=-3/2だから
|↑AD|^2=(1/9)*4+(4/27)*(-3/2)+(4/81)*9=2/3
∠A=θとすると、|↑AH|=|↑AD|cos(θ/2)
cos^2(θ/2)=(1+cosθ)/2、cosθ=cos∠A=-1/4だから
cos^2(θ/2)=(1-1/4)/2=3/8、よって
|↑AH|=|↑AD|cos(θ/2)=√(2/3)√(3/8)=√(1/4)=1/2
|↑b|=2なので、↑AH=(1/4)↑bとなり、よって
[エ]=1/4・・・答え
（４）△ABCの内接円の半径は[オ]となります。
＞△ABCの内接円の半径=DH
=√(AD^2-AH^2)=√{(2/3)-(1/2)^2}=√(5/12)=(√15)/6
[オ]=(√15)/6・・・答え

回答No.2

ferien

＞△ABCにおいて、AB=2、BC=4、CA=3とします。
＞ ベクトルb、cをb=AB,c=ACによって定めます。

＞（１）ベクトルbとcの内積は？
余弦定理より、
cosＡ＝（ＡＢ^2＋ＡＣ^2ーＢＣ^2）/２・ＡＢ・ＡＣ
＝（２^2＋３^2－４^2）/２・２・３＝－３/１２＝－１/４
ｂ・ｃ＝｜ｂ｜｜ｃ｜cosＡ＝２×３×（－１/４）＝－３/２

＞（２）以下△ABCの内心をDとします。
＞ 内心Dが∠Aの二等分線上にあることから、
＞ ベクトルADは(1/2)b+[ア]cの実数倍になります。
ここの部分の、問題の入力が違っていると思いますが。。

＞ このことを用いると
＞ AD=[イ]b+[ウ]c(ベクトル)であることが分かります。
∠Ａの二等分線ＡＤとＢＣとの交点をＥとすると、角の二等分線の性質より、
ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝２：３
よって、ＡＥ＝(3/5)ＡＢ＋(2/5)ＡＣ＝(3/5)ｂ＋(2/5)ｃ　……アは2/5
Ａ，Ｄ，Ｅは一直線上にあるので、ＡＤ＝ｋＡＥとおけるから、
ＡＤ＝ｋ｛(3/5)ｂ＋(2/5)ｃ｝＝(3/5)ｋ・ｂ＋(2/5)ｋ・ｃ　……(1)

∠Ｃの二等分線ＣＤとＡＢとの交点をＦとすると、同様にして、
ＡＦ：ＦＢ＝ＣＡ：ＣＢ＝３：４
よって、
ＣＦ＝(4/7)ＣＡ＋(3/7)ＣＢ＝－(4/7)ＡＣ＋(3/7)（ＡＢ－ＡＣ）＝（3/7）ｂーｃ
Ｃ，Ｄ，Ｆは一直線上にあるから、ＣＤ＝ｍＣＦとおけるから、
ＣＤ＝ｍ｛（3/7）ｂーｃ｝＝(3/7)ｍ・ｂーｍ・ｃ
ＡＤ－ＡＣ＝(3/7)ｍ・ｂーｍ・ｃ
ＡＤ＝(3/7)ｍ・ｂ＋（１－ｍ）・ｃ　……(2)

(1)(2)より係数比較して、
(3/5)ｋ＝(3/7)ｍ，(2/5)ｋ＝１－ｍ　を連立方程式で解くと
ｋ＝5/9，ｍ＝7/9
(1)か(2)に代入して、
よって、ＡＤ＝(1/3)ｂ＋(2/9)ｃ　……イは1/3，ウは2/9

＞（３）内心Dから辺ABにおろした垂線の足をHとします。
＞ このときAH=[エ]bであることが分かります。
内心ＤからＢＣ，ＣＡへおろした垂線の足をＩ，Ｊとする。
内心の性質より、
ＡＨ＝ＡＪ＝ｘとおくと、ＢＨ＝ＢＩ＝２－ｘ，ＣＩ＝ＣＪ＝３－ｘとなるから、
ＢＣ＝ＢＩ＋ＣＩ＝（２－ｘ）＋（３－ｘ）＝４
２ｘ＝１より、ｘ＝1/2だから、ＡＨ＝1/2
ＡＨ：ＡＢ＝1/2：２＝１：４
よって、ＡＨ＝(1/4)ＡＢ＝(1/4)ｂ　……エは1/4

＞（４）△ABCの内接円の半径は[オ]となります。
内接円の半径をｒとすると、
△ＡＢＣの面積＝(1/2)・２・ｒ＋(1/2)・３・ｒ＋(1/2)・４・ｒ＝（9/2）ｒ
sin^2Ａ＝1－（-1/4）^2＝15/16より、sinＡ＝√15/4より、
△ＡＢＣの面積＝(1/2)・ＡＢ・ＡＣ・sinＡ
＝(1/2)・２・３・（√15/4）＝3√15/4
（9/2）ｒ＝3√15/4とおけるから、
よって、ｒ＝√15/6　……オ

図を描いて考えてみてください。
間違っているところがあったら、教えてください。

回答No.1

suko22

ベクトル記号省略します。
(1)ｂ・ｃ＝｜ｂ｜｜ｃ｜cosＡ＝2*3cosＡ

　cosAは余弦定理で求めます。
　4＾2＝2＾2+3＾2-2*2*3cosAより、cosA=1/4

　よって、ｂ・ｃ＝6*（1/4）＝3/2

(2)直線ＡＤと線分ＢＣとの交点をＥとします。
　角の二等分線の公式からＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＥＣ＝2：3
　内分の公式より、ＡＥ＝3/5ＡＢ+2/5ＡＣ
　点Ａ，Ｄ，Ｅは一直線上にあるから、実数ｋを用いてＡＤ＝ｋＡＥとあらわせる。
　∠Ｂの二等分線と線分ＡＣとの交点をＦとすると、角の二等分の公式より、
　ＢＡ：ＢＣ＝ＡＦ：ＦＣ＝2：4＝1：2
　よって、ＡＦ＝1/3ＡＣ

　ところで、ＡＤ＝ｋ（3/5ＡＢ+2/5ＡＣ）＝3ｋ/5ＡＢ+2ｋ/5ＡＣ＝3ｋ/5ＡＢ+（2ｋ/5）*3*1/3ＡＣ　　　　　　　　　＝3ｋ/5ＡＢ+6ｋ/5ＡＦ
　点Ｄは線分ＢＦ上の点だから、3ｋ/5+6ｋ/5＝1が成り立つ。
　これを解くと、ｋ＝5/9

　よって、ＡＤ＝3/5*5/9ＡＢ+2/5*5/9ＡＣ＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣ

(3)実数ｔを用いてＡＨ＝ｔＡＢ
　ＤＨ＝ＡＤ－ＡＨ＝1/3ＡＢ+2/9ＡＣ-ｔＡＢ＝（1/3-ｔ）ＡＢ+2/9ＡＣ
　ＡＨ⊥ＤＨより、ＡＨ・ＤＨ＝0
　ＡＨ・ＤＨ＝ｔＡＢ・｛（1/3-ｔ）ＡＢ+2/9ＡＣ｝＝（ｔ/3-ｔ＾2）*2＾2+2ｔ/9*（3/2）
　　　　　　＝4ｔ/3-4ｔ＾2+ｔ/3＝0
　4ｔ-12ｔ＾2+ｔ＝0
　12ｔ＾2-5ｔ＝0
　ｔ（12ｔ-5）＝0
　ｔ＞0より、ｔ＝5/12
　∴ＡＨ＝5/12ＡＢ

(4)内接円の半径は｜ＤＨ｜の大きさに等しい。
　｜ＤＨ｜＾2＝（-1/12ＡＢ+2/9ＡＣ）・（-1/12ＡＢ+2/9ＡＣ）＝11/36　
　∴｜ＤＨ｜＝√15/6

ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃにそれぞれ置き換えてください。