ベクトルの問題

質問

一辺の長さ1の正三角形ABCにおいて、辺BCを1対２に内分する点をＤとし、点Ｃから線分ADにおろした垂線の足をHとする　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AHベクトル＝ⅹＡＤベクトル　とするときⅹの値を求めよ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　週明けに提出の問題です　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えはⅹ＝６／7です解き方を教えてください

回答No.4

tkfm · ベストアンサー

三角関数の差の公式だけを使っても解けますね．

∠CAH=α，∠CDH=2π/3-αを使って，求めるxは
x=Cos[α]/(Cos[α]+2/3 Cos[2π/3-α])
=Cos[α]/(Cos[α]+2/3 (Cos[2π/3]Cos[α]+Sin[2π/3]Sin[α])
整理して
x=3/(2+√3 Sin[α]/Cos[α]) ...(1)
です．
一方，CHに着目すると，
Sin[α]=2/3 Sin[2π/3-α]
が成り立っており，変形すると
Sin[α]/Cos[α]=√3/2 ...(2)
です．(2)を(1)に代入して
x=6/7
です．

間に合いませんでしたか？

お礼

学校のパソコンで拝見させていただきました。みんなで見ました。先生も見ました。ベクトルは苦手なので三角関数でといてもらって、助かりました。ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

[別解]
→AB,→AC,→AD,→AHを順に→b,→c,→d,→hとし，以下ベクトル記号(→)を強調するとき以外省略する．

点DはBCを１：２に内分するから, 分点公式により
d=(1/3)(2b＋c)　・・・(1)

→ACの→AD上への正射影は→AHである(∵CH⊥AD)ことより, →AH＝X(→AD)に対して
(→AC)・(→AD)＝(→AH)・(→AD)=X(→AD)・(→AD)=X|→AD|^2
つまり　c・d=X|d|^2・・・(2)

ここで(1)より
|d|^2=(1/9)(4|b|^2+4b・c+|c|^2)
⇔|d|^2=7/9・・・(3)
[∵|b|=|c|=1, b・c=1*1*cos60°=1/2]

また(1)より
c・d=(1/3)c・(2b＋c)=(1/3)(2b・c+|c|^2)=2/3・・・(4)

すると(2),(3),(4)より
2/3＝(7/9)X
⇔X=6/7

お礼

正射影というものを先生に聞きました。こういう風に考えるとわかりやすいよといわれました。数学は難しいけどこんなやり方があるんだとびっくりしました。国語みたいです。ありがとうございました。

回答No.2

noname#4499

使う知識は
1. ベクトルの内分
2. ベクトルの内積
になります。
以下では矢印は表記しませんが、「ＡＢ」をベクトル「ＡＢ」だと見なして下さい。

[例解]
点Ｄは、ＢＣを２：１に内分するので、
　ＡＤ　＝　2/3ＡＢ＋1/3ＡＣ

ＡＨ＝ xＡＤとすると、
ＡＨはＣＨと直交するので、
ＡＨ・ＣＨ　＝　ＡＨ・（ＡＨ－ＡＣ）　＝　｜ＡＨ｜^2 －　ＡＨ・ＡＣ　＝　０

｜ＡＨ｜^2　＝　x^2｜ＡＤ｜^2　＝　(7/9)x^2、
ＡＨ・ＡＣ　＝　xＡＤ・ＡＣ　＝　(2/3)x　なので、

(7/9)x^2 - (2/3)x = (7/9)x * ( x - (6/7) ) = 0
明らかに x ≠ 0 なので、 x = 6/7

以上です。表記が見にくくてすみません。

[補足]
｜ＡＤ｜^2　＝　(2/3)^2｜ＡＢ｜^2　＋　(1/3)^2｜ＡＣ｜^2　＋　2ＡＢ・ＡＣ
xＡＤ・ＡＣ　＝　x(2/3ＡＢ＋1/3ＡＣ)・ＡＣ

お礼

ちょうど今習っているやり方でやってもらったので、とても参考になりました。内積をもう一回勉強します・・・。

回答No.1

kony0

AD（、AH）のベクトルを、ABおよびACで表現して（平面図形なので、１次独立な２つのベクトルを用いて任意のベクトルは表現できる。ADは「内分」条件から立式可能。）
直交条件を「内積＝０」で立式すればどうでしょう？（ベクトルで直角が出ればとりあえずこれで）

ちなみに、中３範囲の三平方の定理とか使って、AD、AHの長さを求めてしまう、なんていう手もあるっちゃ～あるんですが。。。

お礼

ありがとうございました。初めて質問しました。だからこんなに早く返事があるとは思いませんでした。分かりやすかったです。。。