ベクトルの問題２

質問

三角形ABCにおいて、AB:AC＝5:2とする。
辺ABを2:3に内分する点をDとし、∠BACの二等分線と辺との交点をEとする。
また、線分CDと線分AEとの交点をFとする。

(1)AEベクトルおよびAFベクトルをそれぞれABベクトルとACベクトルを用いて表せ。また、AFベクトルはAEベクトルの何倍と表されるか。

(2)AB=10、AC=4、∠BAC＝Π/3であるとき、三角形ABCと三角形ABEおよび四角形BEFDの面積について
　△ABC＝○
　△ABE＝○
　（四角形BEFDの面積）＝○
である。

(2)は○を求める問題です。
(1)のAEベクトルは∠BACの二等分線と辺BCの交点がEなので（ABベクトル＋ACベクトル）/２だとわかったのですが、AFが出せません。
ベクトルの基本的な問題なのですが、解き方を忘れてしまい、ノートや教科書の類題を見ても完璧に理解することができずに困っています(--；)
解説よろしくお願いいたします。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

本問題は＃１様のｓｔが全てです。
当方は、ｓｔ計算に自信がなく
http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html
チェバの定理メネラウ（オ）スの定理で確認しています。
＃１様のようにｓｔをとったとき、
メネラウ（オ）スの定理は
（１）　(2/3)(7/2)((1-t)/t)=1
t=7/10
(2/5)(5/2)((1-s)/s=1
（２）　s=1/2
ーーー
メネラウ（オ）スの定理は、危険な面があります。
１、証明が自分で出来る事。
２、意外と使い難い。
３、最大の隘路は式を作るときの順序です。
（１）で言うならば、本問題では、
（出発点Ａ→Ｄ→Ｂ）（Ｂ→Ｃ→Ｅ）（Ｅ→Ｆ→出発点Ａ）
これを、間違えると＜確認して混乱＞が起きます。
４、チェバの定理メネラウ（オ）スの定理の試験は正式解答に使用出来るか、については極めて微妙です。旧課程のみに記載があります。（参考書は常識扱いです。）。０点ではないと思います。
ーーーー
＃２様の回答補足
△ABCの面積＝(1/2)×10×4×sin(π/3)=10√3
△ABEの面積＝(5/7)×△ABCの面積=(50/7)√3
四角形BEFDの面積＝△ABEの面積－△ADFの面積
=(50/7)√3-2√3
=(36/7)√3
または
四角形BEFDの面積＝△ABEの面積＊(1-(2/5)(7/10))
=(50/7)√3*(18/25)
=(36/7)√3
ーーー
本論　前回の回答で誤記がありましたので、お詫びと訂正です。正しくは
(1)p=(1/20)【13［(8a+5b)/13］+7c】
(2)p=(1/20)【12［(5b+7c)/12］+8a】
(3)p=(1/20)【15［(7c+8a)/15］+5b】
ーーー

お礼

２度も回答ありがとうございます。
まだ完璧に理解してはいないのですが、この回答を参考にもう一度じっくり考えてみます。
ご説明ありがとうございましたm(__)m
また質問することがあると思いますので見つけましたら助言よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

ht1914

前の質問にも答えさせて頂いたｈｔ１９１４です。

＞(1)のAEベクトルは∠BACの二等分線と辺BCの交点がEなので（ABベクトル＋ACベクトル）/２だとわかったのですが

「角の二等分線が辺を二等分する」とされているのですが図を書けばすぐに違うことがわかると思います。これは二等辺三角形でしか成り立ちません。図を書かれていないのですか。ついでにＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣが成り立つことも証明してみてはいかがですか。

図形の問題なのにベクトルの問題だと言われると演算だけで答えが出ると考えておられるのではないでしょうか。

幾何的に考えるとＡＦはすぐに出てくるというのだけ書いておきます。
△ＡＤＣが二等辺三角形でＡＦとＤＣは直交しているということは分かりますか。角の二等分線というのが効いてきます。ＡＦ＝（ＡＤ＋ＡＣ）／２です。ＡＤ＝（２／５）ＡＢを代入するとＡＦ＝ＡＢ／５＋ＡＣ／２です。

ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣの証明

正弦定理（三角形の面積の表現を使って求める）を使っても求まりますが幾何的にも求まります。
ＢからＤＣに平行線を引きＡＥの延長線との交点を求めて下さい。Ｇとしましょう。△ＣＥＦと△ＢＥＧが相似形になります。△ＡＤＦと△ＡＢＧも相似形ですから辺の比から上の式が求められます。

公式を探されて使ってもかまいませんがその前にＡＢ＞ＡＣならＢＥ＞ＥＣになるということぐらいまでは詰めておかないといけませんね。ＢＥ＝ＥＣだとしてしまえば公式を探すという発想も出てこないわけですから。もっと問題をいじくって試行錯誤をして下さい。一本道で答えが出てくるのを期待して答えをあちこち探しまくっているように思いました。

蛇足です。
私はこの式をいじったり証明したりしたのは何と５０年ぶりなんです。紙に書いてあれこれ考えていて昔やったことが出てきました。

お礼

回答ありがとうございます。
まだ完璧に理解してはいないのですが、この回答を参考にもう一度じっくり考えてみます。
角の二等分線の性質も確認したいと思います。
ご説明ありがとうございましたm(__)m

回答No.2

debut

・△ABCの面積＝(1/2)×10×４×sin(π/3)

　角の二等分線の性質
　　　AB:AC=BE:CE　から
・△ABEの面積＝(5/7)×△ABCの面積

・四角形BEFDの面積＝△ABEの面積－△ADFの面積
　（△ADFの面積は△ADCの面積４√３の半分です）

お礼

回答ありがとうございます。
まだ完璧に理解してはいないのですが、この回答を参考にもう一度じっくり考えてみます。
ご説明ありがとうございましたm(__)m

回答No.1

kinaia

ＤＦ：ＦＣ＝ｓ：１－ｓ
ＡＦ：ＦＥ＝ｔ：１－ｔ　とおいてください。

ＡＢ：ＡＣ＝５：２だから
ＡＥベクトル＝2/7ＡＢベクトル＋5/7ＡＣベクトル　です。

で、

ＡＦベクトル＝（１－ｓ）ＡＤベクトル＋ｓＡＣベクトル
　　　　　　＝2/5（１－ｓ）ＡＢベクトル＋ｓＡＣベクトル
ＡＦベクトル＝ｔＡＥベクトル
　　　　　　＝2/7ｔＡＢベクトル＋5/7ｔベクトル
で、

2/5（１－ｓ）＝2/7ｔ
ｓ＝5/7ｔ

を解いて

ｔ＝7/10

で、

ＡＦベクトル＝1/5ＡＢベクトル＋1/2ＡＣベクトル

ＡＦベクトルはＡＥベクトルの7/10倍です。

お礼

sとtを使う問題だったのですね。
そもそもAEベクトルが間違っていましたね。お恥ずかしい…(--；)
丁寧なご説明ありがとうございましたm(__)m

補足

(2)もお解かりでしたら教えてください。お願いしますm(__)m