改めてベクトルの問題なのですが・・・

質問

投稿した問題が間違っていたので改めて投稿しました。わざわざ解答頂いた方にはホントに申し訳ありません。改めてご教授よろしくお願いします
三角形ABCにおいて, AC=b AB=c とし、BCの中点をM, 角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。
また直線ADに点Bからおろした垂線の足をEとし、直線AMと直線BEの交点をFとする。
この時, ベクトルAF, ベクトルDFをベクトルAB, ベクトルACを用いて表せ。

という問題で、まず内分点の公式からベクトルAM, ADを表して、直線BEと直線ACの交点をGとすると三角形ABGが二等辺三角形になることからベクトルAGをベクトルACで表わし、点Fは直線BG上に存在し、かつ直線AMの延長線上にも存在することからベクトルAFを二通りで表す、というやりかたで解き、最終的に答えが（以下ABなどの表現はベクトルとしてください…）
AD=(b/b+c)AB+(c/b+c)AC, AF=(c/b+c)AB+(c/b+c)AC=(c/b+c)AB+(b/b+c)AG, DF=(c-b/b+c)AB
という結果になりました。それで疑問に思ったのが
(1)BCについてはBD：DC=ｃ：ｂ, Mが中点だったのが、BGについてはBF：FG=ｂ：ｃ, EがBGの中点と、点M, DとAM, ADの延長線上の点F, Eについて、中点と～に内分する点という関係が逆転して内分比も逆になっています。
また結果として
(2)AB//DFとなります。
ガリガリ計算してみると確かにこうなるのですが、このような操作をして二点とその延長線上の二点の対応関係が逆になったこと、DFが結果としてABと平行になることがなんとなく不思議に思います。
こう、この操作は～こういうことをしているからだ！っとすっきりと言える理由ってあるでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

どのような操作を…と言われると難しいですが、なぜそうなるのかについては全てメネラウスの定理により説明できます。
（とりあえずAB<ACとします。その関係が逆の場合でも考え方は同じです）
まず、BD：DC=ｃ：ｂだがBE：EG=1：1になる理由についてですが、
△BGCに直線AEが引かれている形を見ると、メネラウスの定理により
(BE/EG)×(GA/AC)×(CD/DB)=1
となります。ここで
GA：AC=c：b,CD：DB=b：cを上の式に代入すると
(BE/EG)×(GA/AC)×(CD/DB)=(BE/EG)×(c/b)×(b/c)=(BE/EG)=1
となるため、BE=EG、つまりBE：EG=1：1となります。
同じようにして、BM：MC=1：1だがBF：FG=b：cとなる理由も、△BGCに直線AFが引かれている形を見ると説明がつきます。

さらに、△AGFに直線BCが引かれている形を見ると
(AC/CG)×(GB/BF)×(FM/MA)=1
となります。ここで
AC：CG=b：c-b,GB：BF=c+b：bなので、
(AC/CG)×(GB/BF)×(FM/MA)=(b/(c-b))×((c+b)/b)×(FM/MA)=((c+b)/(c-b))×(FM/MA)=1
となり、FM：MA=c-b：c+bであることがわかります。
一方、DM：MB=(BD-BM)：(b+c)/2=(c-(b+c)/2)：(b+c)/2=(c-b)：(c+b)
となるので、FM：MA=DM：MBです。さらに∠FMD=∠AMBなので二辺比挟角相等が成り立ち、
△FMD∽△AMBです。よって、∠MDF=∠MBAより錯角が等しいので、AB∦DFとなります。

こんな感じでどうでしょうか？操作の理由は少しわからないですが、証明は上のような形で可能です。

参考になれば幸いです。

お礼

メネラウスはすごい納得です!まだ平行になる部分がつかみきれませんが取り敢えずすっきりしました。お二人とも回答ありがとうございました。

回答No.5

ferien

度々失礼します。
>式の結果だけ見ると、AF=(c/b+c)AB+(c/b+c)AC　も、かなり不思議です。

やはりこの式の形は、中点を表すＡＭとかなり関係があるのではないかと思い、
少し計算してみました。

ＡＦ：ＡＭ＝２ｃ：ｂ＋ｃ，　ＡＦ：ＦＤ＝２ｃ：ｂ－ｃ　
ＡＥ：ＡＤ＝ｂ＋ｃ：２ｂ，　ＡＥ：ＥＤ＝ｂ＋ｃ：ｂ－ｃ

のような関係があるようです。（何かの参考にできれば）

お礼

お返事が遅くなってすいませんでした><うーむなんかこの形はいろいろと面白い関係が導けそうな臭いがしますね…僕には臭いしか感知出来ないですけど(^-^;

回答No.4

ferien

>角の二等分線の公式のようなものでAB:AC=BD:CDってありませんでしたっけ?

ありました。確かに　AB:AC=BD:CD＝ｃ：ｂ　です。　

点Ｅは、角の２等分線上の点なので、２辺から等しい距離にあると言うことで、
ＢＧの中点になります。

式の結果だけ見ると、AF=(c/b+c)AB+(c/b+c)AC　も、かなり不思議です。

回答No.2

ferien

ベクトルＡＤは、ＡＦをも求めたときと同じやり方でできます。

>点Dは直線BC上に存在し、かつ直線AＤ上にも存在することからベクトルADを二通りで表す、

例えば、
ＡＤ＝ｍＡＥ
ＢＤ＝ｎＢＣより、ＡＤ－ＡＢ＝ｎ（ＡＣ－ＡＢ）
ＡＤ＝ｎ（ＡＣ－ＡＢ）＋ＡＢ
　　＝（１－ｎ）ＡＢ＋ｎＡＣ　として、

AD=(b/b+c)AB+(c/b+c)AC，DF=(c-b/b+c)AB　が求められます。

BD：DC=ｃ：ｂと考えたために、混乱したのではないですか？

補足

Dの出し方自体はたぶん大丈夫です!ただ角の二等分線ADに垂線を下ろす操作は二等辺三角形ABGをつくる意味合いがあるんだなぁということは把握できたんですがそれでb:cの内分点の延長線上の点が今度は中点に(これはそうなるようにしたんですが)、元の中点の延長線上の点が今度はc:bの内分点になる、っていうのか不思議な感じがして、しかもDF//ABになってうぉっ?!となったのです。計算すればそのこと自体は確認できるのですが、なんかこうなるのは当たり前じゃん、だってこういう操作したんだから、みたいなことが言えそうな気がしたんですが僕にはよくわからないのです…

回答No.1

ferien

>内分点の公式からベクトルAM, ADを表して、AD=(b/b+c)AB+(c/b+c)AC
AC=b AB=c の条件から、BD：DC=ｃ：ｂが言えるのか疑問です。

>直線BEと直線ACの交点をGとすると三角形ABGが二等辺三角形になることからベクトルAGをベクトルACで>表わし、
すごくいい考えだと思いました。

>点Fは直線BG上に存在し、かつ直線AMの延長線上にも存在することからベクトルAFを二通りで表す、と
>いうやりかたで解き、最終的に答えが（以下ABなどの表現はベクトルとしてください…）
>AF=(c/b+c)AB+(c/b+c)AC=(c/b+c)AB+(b/b+c)AG,
これと同じ方法でＡＦを求めることができました。けれどもＡＤは使ってません。

AC=b AB=c の条件から、BD：DC=ｃ：ｂが言えるところをどのように考えたのか、できれば詳しく説明してもらえませんか？

補足

角の二等分線の公式のようなものでAB:AC=BD:CDってありませんでしたっけ? もしかしたら何か勘違いしてるかもしれません…