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ベクトルの問題がこの結果になるのはどうしてでしょう
三角形ABCにおいて, AC=b AB=c とし、BCの中点をM, 角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。 また直線ADに点Bからおろした垂線の足をEとし、直線AMと直線BEの交点をFとする。 この時, ベクトルOF, ベクトルDFをベクトルAB, ベクトルACを用いて表せ。 という問題で、解くには解けたのですが、その結果として、直線ACと直線BFの交点をGとすると (1)BD：DC=ｃ：ｂ, MがBCの中点だったのが、AD、AMの延長線とAGの交点では BF：FG=ｂ：ｃ, EがBG中点と対応が逆転しました。また最終的に (2)AB//DFとなります。 このような結果になるのはなぜでしょうか？こうなる理由があると思うのですがいまいちつかみきれません。 よろしくお願いします！
- milkinwinter
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- naniwacchi
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こんばんわ。 おそらくベクトルの問題として解くと、 ＞BF：FG=ｂ：ｃ, EがBG中点と対応が逆転しました。 ということになるという意味だと思うのですが、合っていますか？ ＾＾； そして、「こうなる理由」というのは「図形的な理由」と解釈して、以下に中学数学レベルでの導出を。 ・まず、EがBGの中点だというのは、意外とあっさりわかってしまいます。 というのは、三角形ABGにおいて、AEは「角の二等分線」であり、かつ「点Aから降ろした垂線」でもあります。 よって、三角形ABEと三角形ACEが合同となり、 点Eは辺BGの中点、三角形ABGは二等辺三角形であることがわかります。 ・あとは、BF：FGの辺の比についてですが、点Bから辺AGに平行な直線を引きます。 その直線と直線AFの交点を点Hとします。 すると、BHとAGが平行で、BM＝ CMとなっているので、 BH＝ AC＝ bとなります。 あとは、三角形BHFと三角形GAFの相似を考えれば、BF：FGの比が求まります。 「点Bから辺AGに平行な直線を」というのは、角の二等分線を扱うときによく用いられる補助線ですね。＾＾
- nag0720
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