平面ベクトルと図形

質問

平面上に△ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5．ＢＣ＝aとする。∠Ｂの二等分線が辺ＡＣと交わる点をＤ．辺ＢＣを5：2に内分する点をＥ．ＢＤとＡＥの交点をＦ．ＣＦの延長とＡＢの交点をＧとする。（1）ベクトルＡＥ＝2／7ＡＢ＋5／7ＡＣである。（2）ＡＤ：ＤＣ＝5：aであるから、ベクトルＡＤ＝5／5＋aである。（3）ベクトルＤＥ＝2／7ＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ＡＣであるからまでは分かるんですがその続きのＤＥ平行ＡＢとなるのはa＝4になるのがよく分かりません。一度教えていただいたんですが…教科書のヒントにはＤＥ平行ＡＢとなるための条件は、ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢを満たす実数kが存在すること。とあるんですが、このヒントを使っての解き方が分かりません。お願いします。教えて下さい。

回答No.7

ferien

ご指摘ありがとうございます。

>「ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢは、ＤＥとＡＢが同じ向きのベクトルであることを表しています。」と

”同じ向き”という言い方が良くないですが、同じ傾き具合の線分というかそのような意味です。
ｋ＞０なら、ＤＥとＡＢは同じ向き、ｋ＜０ならＤＥとＡＢは反対向きです。
図形的には、ＤＥとＡＢの向きがどちらでも、互いに平行であることにも、１直線上に点があることにも変わりはないので、ｋは０以外のどちらも表しているのだ理解してもらえればいいと思います。
実際に問題に適用して考えるときは、Ｋ＞０とした方が考えやすいと思います。

回答No.6

yyssaa

ANo.5の回答の中で
「ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢは、ＤＥとＡＢが同じ向きのベクトルであることを表しています。」と
書かれていますが、常に同じ向きにはならないので、注意して下さい。
Ｋが負の実数の場合には、ベクトルＤＥとベクトルＡＢは逆向きになります。

回答No.5

ferien

以前この問題に答えた回答者です。お礼の中で質問されたのですが、締め切られたために回答できずにいました。

(3）ベクトルＤＥ＝2／7ＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ＡＣであるからまでは分かるんですがその続きのＤＥ平行ＡＢとなるのはa＝4になるのがよく分かりません。一度教えていただいたんですが…教科書のヒントにはＤＥ平行ＡＢとなるための条件は、ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢを満たす実数kが存在すること。とあるんですが、
>このヒントを使っての解き方が分かりません。お願いします。教えて下さい。

「ＤＥ平行ＡＢとなるための条件は、ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢを満たす実数kが存在すること。」
ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢは、ＤＥとＡＢが同じ向きのベクトルであることを表しています。
ＤＥ平行ＡＢの他に、点Ｄ，Ｅ，Ａ，Ｂが１直線上にある場合も同じ条件になります。
図的に考えると、ＤＥ平行ＡＢのときも、４つの点が１直線上にあるときも、
ＤＥとＡＢが同じ向きにあるからです。、

ベクトルＤＥ＝2／7ＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ＡＣの場合は、ｋ＝2/7として、ＤＥ＝2／7ＡＢがいえれば平行の関係を示すことになるので、ＡＣの係数＝5（a―2）／7（5＋a）＝０とおきます。

まだ何かあったらお願いします。

回答No.4

yyssaa

ベクトルＤＥ＝2／7ベクトルＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ベクトルＡＣで
a=2であればベクトルＤＥ＝2／7ベクトルＡＢとなり、
「ＤＥ平行ＡＢとなるための条件は、ベクトルＤＥ＝kベクトルＡＢを満たす
実数kが存在すること」のkがk＝2/7という実数として存在するということです。
あるベクトルＡが別のベクトルＢの実数倍のときは、ＡとＢは一直線上にあるか、
又は同一平面上で平行の位置関係にあります。従って
ベクトルＤＥ＝2／7ベクトルＡＢであれば、この問題では両ベクトルが一直線上
にはありませんから、ベクトルＤＥとベクトルＡＢは平行であり、ベクトルが
平行ということは向きが同じということですから、線分ＤＥと線分ＡＢは平行に
なります。

回答No.3

noname#166245

No2です。やはり2でしたね。
2であれば、
ベクトルＤＥ＝2／7ＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ＡＣ　の式、で
a=2ってすれば、a―2=0　なので ACベクトルの項が消えて、
ＤＥ＝2／7ＡＢ　となりますよね。
ヒントそのままの形に無事になってますよね？
なのでDE平行ABと言えます。
逆に言えば、
ベクトルＤＥ＝2／7ＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ＡＣ で
DE平行ABであれば、ACの項が消えるように、
a=2 とならならければならないということです。

回答No.2

noname#166245

a = 2 じゃなくて 4 ？

お礼

すいません。a＝2でした。

回答No.1

yyssaa

ベクトルＤＥ＝2／7ベクトルＡＢ＋5（a―2）／7（5＋a）ベクトルＡＣ
が正しいなら、ＤＥ平行ＡＢとなるための条件はベクトルＡＣの係数＝０、
すなわちa＝2が条件ではありませんか？

お礼

a＝2でした。すいません