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平面図形

△ABCにおいて、∠Aおよびその外角の二等分線と直線BCの交点をそれぞれD,Eとするとき、 1/BD+1/BE=2/BC が成り立つことを証明せよ。 という問題で、解説に(二等分線の性質による、辺の比は既知として)BD=AB/AB+AC×BC,BE=AB/AB-AC×BC と書いてあったのですが、全く理解できません、教えてきいただけないでしょうか?

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AB/AC=BD/DC=BD/BC-BD AB(BC-BD)=AC*BD (AC+AB)BD=AB*BC  BD=AB*BC/(AC+AB) また  AB/AC=BE/EC=BE/(BE-BC)  AB(BE-BC)=AC*BE  BE(AB-AC)=AB*BC  BE=AB*BC/AB-AC これを与式の左辺に代入すると証明できます。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2

BD:DC=AB:ACなのでBD:BC=AB:AB+ACとなります。内項の積と外項の積を考えればBD×(AB+AC)=AB×BCになります。これを両辺(AB+AC)で割ります。BEについても同様です。質問文では括弧が抜けてますね。実際は BD=AB/(AB+AC)×BC BE=AB/(AB-AC)×BC ですよね。 後は、1/BD+1/BEにこれらの式を代入して計算すれば2/BCと求まります。

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  • 回答No.1

ADは角Aの二等分線なので、点Dは辺BCをAB:ACに内分します。またAEは角Aの外角の二等分線なので、点Eは辺BCをAB:ACに外分します。内分・外分の式を用いれば解説のようにBD、BEが求まりますよね。

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質問者からの補足

返信ありがとうございました。 質問文に書いてある通り、そのことは知っています。 その比から、どうその、式に変形させるのかがわからないのです。 Ps (二等分線の性質による、辺の比は既知として) は自分がということです。

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