- ベストアンサー
平面ベクトルと図形
- 平面上に△ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5.ＢＣ＝aとする。∠Ｂの二等分線が辺ＡＣと交わる点をＤ．辺ＢＣを5：2に内分する点をＥ．ＢＤとＡＥの交点をＦ．ＣＦの延長とＡＢの交点をＧとする。
- ベクトルＡＥ＝〔ア〕ベクトルＡＢ＋〔イ〕ベクトルＡＣである。
- ＡＤ：ＤＣ＝〔ウ〕：〔エ〕であるから、ベクトルＡＤ＝〔オ〕ベクトルＡＣである。
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
平面上に△ＡＢＣがあり、ＡＢ＝5.ＢＣ＝aとする。∠Ｂの二等分線が辺ＡＣと交わる点をＤ．辺ＢＣを5：2に内分する点をＥ．ＢＤとＡＥの交点をＦ．ＣＦの延長とＡＢの交点をＧとする。 ＞（1）ベクトルＡＥ＝〔ア〕ベクトルＡＢ＋〔イ〕ベクトルＡＣである。 辺ＢＣを5：2に内分する点をＥだから、 ＡＥ＝(2/7)ＡＢ＋(5/7)ＡＣ …アイ ＞（2）ＡＤ：ＤＣ＝〔ウ〕：〔エ〕であるから、ベクトルＡＤ＝〔オ〕ベクトルＡＣである。 ∠Ｂの二等分線が辺ＡＣと交わる点をＤだから、 ＡＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＢＣ＝５：ａより、ＡＤ＝(5/(5+a))ＡＣ …ウエオ ＞（3）ベクトルＤＥ＝〔カ〕ベクトルＡＢ＋［キ］ベクトルＡＣであるから、ＤＥ平行ＡＢとなるのはa＝〔ク〕のときである。 ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ ＝(2/7)ＡＢ＋(5/7)ＡＣ－(5/(5+a))ＡＣ ＝(2/7)ＡＢ＋｛(5/7)－(5/(5+a))｝ＡＣ ＝(2/7)ＡＢ＋((a-2)/(5+a))ＡＣ …カキ ＤＥ平行ＡＢとなるには、ＤＥ＝(2/7)ＡＢとなればいいから、 (5/7)－(5/(5+a))＝０になれば良い。 よって、ａ＝２ …ク ＞（4）ベクトルＡＦ＝〔ケ〕ベクトルＡＢ＋〔コ〕ベクトルＡＣである。 Ａ，Ｆ，Ｄは１直線上にあるから ＡＦ＝ｋＡＥとおく ＡＦ＝(2/7)ｋＡＢ＋(5/7)ｋＡＣ ……（１） Ｂ，Ｆ，Ｄは１直線上にあるから ＢＦ＝ｌＢＤとおく ＡＦ－ＡＢ＝ｌ（ＡＤ－ＡＢ） ＡＦ＝ｌＡＤ＋（１－ｉ）ＡＢ ＝（１－ｉ）ＡＢ＋ｌ×(5/(5+a))ＡＣ ……（２） （１）（２）より係数を比較すると (2/7)ｋ＝１－ｉ，(5/7)ｋ＝ｌ×(5/(5+a)) これを解いて、ｋ＝7/(7+a)，ｌ＝(5+a)/(7+a) ＡＦ＝7/(7+a)ＡＥ ……（３）より、 ＡＦ＝(2/(7+a))ＡＢ＋(5/(7+a))ＡＣ ……（４）…ケコ ＞（5）ベクトルＣＦ＝〔サ〕ベクトルＣＧである。 Ｃ，Ｆ，Ｇは１直線上にあるから ＣＦ＝ｍＣＧ，ＡＧ＝ｎＡＢとおく ＡＦ－ＡＣ＝ｍ（ＡＧ－ＡＣ） ＡＦ＝ｍＡＧ＋（１－ｍ）ＡＣ ＝ｍｎＡＢ＋（１－ｍ）ＡＣ （４）と係数を比較すると ｍｎ＝2/(7+a)，１－ｍ＝5/(7+a) これを解いて、ｍ＝(2+a)/(7+a)，ｎ＝2/(2+a) よって、ＣＦ＝｛(2+a)/(7+a)｝ＣＧ …サ ＞（6）△ＡＢＣ＝2△ＡＢＦとなるのは、a＝〔シ〕のときである。 △ＡＢＦ＝(1/2)△ＡＢＣ ……（５） ＢＥ：ＥＣ＝５：２より△ＡＢＥ＝(5/7)△ＡＢＣ （３）より、△ＡＢＦ＝7/(7+a)△ＡＢＥ だから、△ＡＢＦ＝7/(7+a)×(5/7)△ＡＢＣ ＝(5/(7+a))△ＡＢＣ （５）と係数を比較すると 5/(7+a)＝1/2 よって、ａ＝３ …シ 答えが違うとかなにかあったらお願いします。
その他の回答 (2)
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
参考： 数学Ａの平面図形の定理を使って比の計算 （４）△ＡＥＣに直線ＢＤが交わっていると見てメネラウスの定理 (AF/FE)(EB/BC)(CD/DA)=1より (AF/FE)(5/7)(a/5)=1 これより AF/FE=7/a が使えます。 （５）チェバの定理 (AG/GB)(BE/EC)(CD/DA)=1 より (AG/GB)(5/2)(a/5)=1 これよりAG/GB=2/a また，△ＧＢＣに直線ＡＥが交わっていると見てメネラウス定理 (CF/FG)(GA/AB)(BE/EC)=1 より (CF/FG)(2/a+2)(5/2)=1 これより CF/FG=(a+2)/5 が使えます。 穴埋め問題なら使い慣れると便利ですよ。
お礼
お忙しいなか答えて下さりありがとうございました。
まずは図をかきましょう。
お礼
本当にありがとうございました。すごく助かりました☆ 一つ聞いてもいいですか？ ＤＥ平行ＡＢとなるためにはＤＥ＝2／7ＡＢとなればいいから5／7―5／（5＋a）＝0 になればよいってあったんですが、その理屈がいまいち理解できませんでした。勉強不足ですいません。問題のヒントにはＤＥ平行ＡＢとなるための条件はベクトルＤＥ＝kＡＢを満たす実数Kが存在することっとあったんですが、どういうことなんでしょうか？