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平面図形  答えが合いません

BC=5、AB>ACであるような△ABCがある △ABCの外接円の点Aにおける接線が直線BCと交わる点をDとすると、CD=4である (1)DAの長さを求めよ (2)∠ACB=2∠ABCのとき、AB、ACの長さをそれぞれ求めよ (3)直線ADに平行で、辺AB、ACと交わる直線を引き、交点をそれぞれE、Fとする。(2)のときAE=xとして、CFの長さをxで表せ (4)3)において、AE=CFのときEFの長さを求めよ この問題もうすでに2時間以上考えたんですが(2)すら解けません (1)は図を描いて方べきの定理でDA=6とだせました (2)は、グラフを書けばわかるんですが△ABDは∠BAD=90°の直角三角形なので、三平方の定理からAB=3√5とでたんですが回答にはAB=6、AC=4と書いてありました。 私のやり方が間違っているのでしょうか? それとも回答が間違っているのでしょうか?

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接線とは、円の中心と接点を結んだ線分と、接線のなす角が90°です。 #1で完璧に終わっていますが、#1に沿ってもう少し詳しく解説すると。 1)△ACD∽△BADであることを利用して、計算したものが方べきの定理 (∠CAD=∠ABDを証明する)。これにより、DAは求まります。 2)(∠CAD=∠ABDと)∠ACB=2∠ABCより、△ACD∽△BADであり、かつ、両三角形は、二等辺三角形であることがわかります。 これから直ぐに出てきます。 3)EFの延長と、BD上の交点をGとすると、△EBG∽△ABDより、 BE:AB=BG:BDより、BGを求め、CG=BG-BC次いで、 △CFG∽△CADであり、また、二等辺三角形より、CG=CF このときに、CFが存在するためにx<=8/3を書いておいた方がよいのかな。 4)AE=CFよりxの値が求まります。 △BEGは二等辺三角形より、BE=BG,EF=EG-FGここでFGを求めます 3)にて、CFが求まっていますので、△CFG∽△CADより、 CF:AC=FG:ADこれから、FGが求まります。 尚、最初の、∠CAD=∠ABDがわからないときは、補足に書いてください。#1の方または、私が答えます。#1の方すみません。良い解答なので、かつてに解説させていただきました。

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  • 回答No.2

corum様 あまりにも強引なのできがひけます。 しかも(2)だけ 問題も消化出来てません。 計算もかなり面倒で、途中計算省略。 相似比よりAB:AC=3:2 AB=3k  AC=2k とおく また∠ACB=2α  ∠ABC=α とおく 余弦定理より cos2α=(5-(k^2))/(4k)    cosα=((k^2)+5)/(6k) cos2α=2*((cosα)^2)-1   に代入 [(5-(k^2))/(4k)]=2【[((k^2)+5)/(6k)]^2】-1  これをかなり変形して4次方程式、因数定理2度適用して (k-1)(k-2)(2*(k^2)+15k+25)=0 k=1は無縁解  2*(k^2)+15k+25=Oの中に正の解なし よって k=2   即 AB=6、 AC=4 うーん  こんなの ありかな・・・・・・・

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  • 回答No.1
  • ht1914
  • ベストアンサー率44% (290/658)

(1)は求まったのですね。方べきの定理というのを使ったのですね。 この定理が成り立つことを証明できますか。 2つの三角形△DABと△DCAが相似形になっています。辺の比の関係からAD・AD=DB・DCですね。 相似形を確かめると∠DAC=∠DBAも分かりますね。 ∠DAC+∠ADC=∠ACB=2∠ABCですから∠DAC=∠ADCのになります。 △ACDは二等辺三角形です。△ABDも二等辺三角形になります。AC=CD=4です。AB=AD=6となります。 これで(2)が出来ました。△ABDは直角三角形ではありません。二等辺三角形です。 相似形をとことん利用していけば後の問題も分かると思います。

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