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平面図形

  • 質問No.1967028
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三角形ABCがある。AB=6、BC=10であり、AC上に点Dをとり、DCの長さを6とし、DBの長さを6とする。
また、ADの中点をEとする。辺ABを3:1に分ける点をFとする。
辺DBの延長と辺EFの延長して、交わった点をGとする。

このときAEの長さを求めよ。またBGの長さを求めよ。

と言う問題です。

わかっていることをまとめると
長さがわかっているのは
AB=DC=DB=6
BC=10
ADを1:1に分ける点をE
ABを3:1に分ける点をF
△DBCと△ABDは二等辺三角形である
と言うことが文章からわかると思います。

まずAEの長さを考えると

点DからBCに垂線を引き、その交点をHとする。
また△ABDは二等辺三角形だから、点Eと点Bを結ぶ
△CDH∽△CBEであるから
CD:CB=CH:CE
6:10=5:CE
6CE=50
CE=25/3

CD=6より
DE=CE-CD
 =25/3-6
 =7/3
となり
DE=EAなので
AE=7/3となりました。

次に
辺の比を使って何とかGBの長さを求めようとしたのですがさっぱりわかりません。
すいませんが、詳しい解説をお願いします。またこのような問題の考え方がありましたら教えてください。

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Bを通り、ACに平行な直線と線分GEとの交点をPとします。
すると、△AEF∽△BPFで、AF:BF=3:1だからAE:BP
=3:1。
さらに、AE=DEだから、AE:BP=DE:BP=3:1。
そして、△GBP∽△GDEなので、上のことから、GD:GB=3:1。
GB=xcmとすると、BD=6cmであることも考えて
  (x+6):x=3:1
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