数学の証明問題について

質問

数学の証明の問題がわからないので質問させていただきます。
この問題の答えとできたら解き方も教えていただきたいです。

1.正三角形ABCの辺ACの中点をDとし、辺BCのCを超えた延長上に点EをCD=CEであるようにとれば、DB=DEである。

2.二等辺三角形ABCにおいてAB=ACとする。辺AC上の点をD、辺BCのCを超えた延長上に点EをCD=CEであるようにとったとき、DB=DEとなるのは、Dがどんな点の場合か。

3.問題2から次の問題を得る。△ABCにおいて、AB=ACとし、∠Bの二等分線とACとの交点をDとする。BCのCの超えた延長上に点Eを、CD=CEであるようにとればDB=DEである。

4.△ABCにおいてAB=ACとし、辺ACの中点をDとする。辺BCのCを超えた延長上の点をEとしたとき、DB=DEとなるのは、Eがどんな点の場合か。

5.問題4から次の問題を得る。△ABCにおいてAB=ACとし、辺ACの中点をDとする。辺BCのCを超えた延長上に点EをCE=1/2BCにとればDB=DEである。

6.直角二等辺三角形ABCにおいて∠A=90°とし、∠Bの二等分線とACとの交点をDとする。CからBDへの垂線の足をEとすれば、BD=2CEである。

以上、6個の問題です。
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.3

jcpmutura

3.
△ABCにおいて、|AB|=|AC|とし、
∠ABCの2等分線とACとの交点をDとする。
BCのCの越えた延長上に点Eを、|CD|=|CE|であるようにとる

|CD|=|CE|だから
∠CED=∠CDE
↓両辺に∠CEDを加えると
2∠CED=∠CDE+∠CED
↓∠CDE+∠CED+∠DCE=180°だから
2∠CED=180°-∠DCE
↓∠ACB+∠DCE=180°だから
2∠CED=∠ACB
↓|AB|=|AC|だから
2∠CED=∠ABC…(1)

BDは∠ABCの2等分線だから
2∠DBE=∠ABC
↓(1)∠ABC=2∠CEDから
2∠DBE=2∠CED
↓両辺を2で割ると
∠DBE=∠CED
だから△DBEは2等辺3角形だから
|DB|=|DE|
となる。

1.
正3角形ABCの辺ACの中点をDとし、
辺BCのCを超えた延長上に点EをCD=CEであるようにとれば
△ABCは正3角形だから
|AB|=|AC|
Dは辺ACの中点だから
|CD|=|AD|
△ABCは正3角形だから
|CB|=|AB|
BDは共通
△CBDと△ABDの3辺が等しいから
△CBD=(合同)=△ABD
だから
∠CBD=∠ABD
だから
Dは∠ABCの2等分線とACとの交点となるから3から
|DB|=|DE|
となる。

2.
2等辺3角形ABCにおいて|AB|=|AC|とする。
辺AC上の点をD、
辺BCのCを超えた延長上に点Eを|CD|=|CE|であるようにとったとき、
3から
Dが∠ABCの2等分線とACとの交点の場合
|DB|=|DE|となる。

5.
△ABCにおいてAB=ACとし、辺ACの中点をDとする。
辺BCのCを超えた延長上に点Eを|CE|=(1/2)|BC|にとる。
辺BCの中点をFとすると
中点連結定理から
△DFC～(相似)～△ABC
|DF|:|DC|=|AB|:|AC|=1:1
だから
|DF|=|DC|……(2)
∠BFD+∠DFC=180°だから
∠BFD=180°-∠DFC
↓(2)から∠DFC=∠DCFだから
∠BFD=180°-∠DCF
↓∠DCF+∠DCE=180°だから
∠BFD=∠DCE……(3)

|CE|=(1/2)|BC|
だから
|BF|=(1/2)|BC|=|CE|
と(2),(3)から
△BDFと△EDCは2辺挟角が等しいから
△BDF=(合同)=△EDC
だから
|DB|=|DE|
となる

4.
△ABCにおいてAB=ACとし、辺ACの中点をDとする。
辺BCのCを超えた延長上の点をEとしたとき、
5から
Eが|CE|=(1/2)|BC|となる点の場合
|DB|=|DE|
となる

6.直角2等辺3角形ABCにおいて∠BAC=90°=π/2とし、
∠ABCの2等分線とACとの交点をDとする。
CからBDへの垂線の足をEとする
△ABCは直角2等辺3角形だから
∠ABC=∠ACB=45°=π/4
|CE|/|BE|=tan(∠ABC/2)=tan(π/8)
∠BCE=π/2-∠ABC/2
∠DCE=∠BCE-∠ACB=π/2-∠ABC/2-∠ACB=π/8
|DE|/|CE|=tan(∠DCE)=tan(π/8)
|BD|=|BE|-|DE|
=|CE|/tan(π/8)-|CE|tan(π/8)
=|CE|[1-{tan(π/8)}^2]/tan(π/8)
=|CE|cos(π/4)/{cos(π/8)sin(π/8)}
=2|CE|/tan(π/4)
=2|CE|
∴
|BD|=2|CE|
である。

回答No.2

bran111

まず定規とコンパスで各問題を正確に作図してください。そうすれば半分はすぐ証明できます。そうでないものは自分の直感を証明すればよろしい。以上の結果を報告してください。

回答No.1

f272

簡単な問題なのですから，あなたの考えたことを書いてください。
何もわかりませんというのなら，あなたはこの問題を解くレベルに達していないのだから，もっと基礎的な問題を練習するようにしてください。