中学の数学です

質問

△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD、∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長線との交点をEとする。AB＝8cm BC＝7cm CA＝6cmのとき、DEの長さを求めよ。

解説にBE:CE＝AB:AC＝4:3とあるのですが、その理由がわかりません！

わかる方詳しい解説をお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

No.2です。補足です。
>解説にBE:CE＝AB:AC＝4:3とあるのですが、その理由がわかりません！

点Ｃを通りＡＥに平行な直線とＡＢとの交点をＦとする。
点Ｃを通りＡＤに平行な直線とＡＢの延長との交点をＧとする。
ＡＥは角Ａの外角の二等分線だから、角ＧＡＥ＝角ＣＡＥ
ＡＥ平行ＦＣより、角ＧＡＥ＝角ＡＦＣ
ＡＤ平行ＧＣより、角ＡＣＦ＝角ＣＡＥ
よって、角ＡＦＣ＝角ＡＣＦだから、△ＡＦＣは二等辺三角形
よって、ＡＦ＝ＡＣ……（１）
△ＡＢＥと△ＦＢＣは相似です。
（角Ｂ共通、角ＡＥ平行ＦＣより、ＢＣＦ＝角ＢＥＡ）
よって、対応する辺の比は等しいから（１）より
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＢ：ＡＦ＝ＢＥ：ＥＣ

図を描いて確認してみて下さい。

回答No.2

ferien

△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD、∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長線との交点をEとする。AB＝8cm BC＝7cm CA＝6cmのとき、DEの長さを求めよ。

>解説にBE:CE＝AB:AC＝4:3とあるのですが、その理由がわかりません！

∠Aの外角の二等分線について、上のような性質があります。（図と共に覚えておくといいです。）
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＥＣです。
∠Aの二等分線については、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣという性質があります。

ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝８：６＝４：３なので、ＢＥ：ＢＣ＝４：１より、
ＢＥ＝４ＢＣ＝４×７＝２８
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝４：３より、ＢＤ：ＢＣ＝４：７より、
ＢＤ＝（４／７）ＢＣ＝（４／７）×７＝４

ＤＥ＝ＢＥ－ＢＤ＝２８－４＝２４ｃｍ

回答No.1

151A48

BD：DC＝AB：ACは大丈夫ですか。
BE：EC＝AB：ACは，例えばCを通りABに平行な直線とAEの交点をGとすると
BE：EC＝AB：GC　　GC＝AC　を確認していただければ分かると思います。